Evolute - LinkFang.de





Evolute


Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn der Berührpunkt auf der Kurve entlang wandert. Oder auch: Die Evolute einer Kurve ist die Hüllkurve oder Enveloppe ihrer Normalen.

Zur nebenstehenden Figur: Ausgangskurve ist die schwarz gezeichnete Normalparabel. K, K1, K2,... sind ihre Krümmungskreise in den Punkten S, P1, P2... Deren Mittelpunkte M, M1, M2,... bilden die Evolute zu der Normalparabel. Der rechte Ast der Evolute entsteht, wenn die Parabelpunkte P nach links wandern.

Für eine ebene Kurve mit der Parameterdarstellung

[math] \vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}\, [/math]

ist die Parameterdarstellung der Evoluten [math] \vec u(t)\, = \,\begin{pmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix}\, [/math] gegeben durch die Koordinaten des Krümmungsmittelpunkts

[math]u_1(t) = x_1(t) - x_2'(t)\frac{x_1'(t)^2+x_2'(t)^2}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)}[/math]

und

[math]u_2(t) = x_2(t) + x_1'(t)\frac{x_1'(t)^2+x_2'(t)^2}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)}[/math].

Die Ausgangskurve, aus der eine Evolute entsteht, heißt (mit Hinblick auf die Evolute) deren Involute oder deren Evolvente.

Evoluten bekannter Kurven

Alle Parallelkurven zur Ausgangskurve haben die gleiche Evolute.

Weblinks

 Commons: Evolute  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Elementare Differentialgeometrie | Geometrische Kurve

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Evolute (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.