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Eulersche Zahlen


Dieser Artikel behandelt eine Folge ganzer Zahlen. Zu anderen nach Euler benannten Zahlen und Zahlenfolgen siehe Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge [math]\, E_n[/math] ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

[math]\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x+e^{-x}} = \sum_{n=0}^{\infty} E_n \frac{x^n}{n!}[/math]

definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k).

Zahlenwerte

Die ersten Eulerschen Zahlen [math]E_n[/math] ≠ 0 lauten

[math]n[/math] [math]E_n[/math]
0 1
2 -1
4 5
6 -61
8 1385
10 -50521
12 2702765
14 -199360981
16 19391512145
18 -2404879675441
20 370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E0 bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest -1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren [math](-1)^n E_{2n}[/math] entsprechen.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

[math]E_{2n} \sim (-1)^n\, 8\, \sqrt{\frac{n}{\pi}} \left(\frac{4n}{\pi e}\right)^{2n} = (-1)^n \frac{\sqrt e}{2} \left(\frac{4n}{\pi e}\right)^{2n+\frac 1 2} [/math]

oder präziser

[math] \frac{E_{2n}}{(2n)!} \sim 2\,(-1)^n\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2n+1} [/math]

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert [math]E_0 = 1[/math] lautet

[math]\forall\,n\in\N\colon\quad (E+1)^n + (E-1)^n = 0[/math]

wobei [math]E^n[/math] als [math]E_n[/math] zu interpretieren ist und woraus

[math]\forall\,n\in\N\colon\quad \sum_{k=0}^n \left(1+(-1)^{n-k} \right){n \choose k} E_{k} = 0[/math]

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

[math]\forall\,n\in\N\colon\quad E_n = - \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} {n \choose 2k} E_{n-2k}[/math]

folgt.

Geschlossene Darstellungen

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt[1]

[math]\forall\,n\in\N_0\colon\quad E_{2n} = \frac{(2n)!\, 2^{2n+2} }{(-1)^n \pi^{2n+1}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{ (2k+1)^{2n+1} } = \frac{(2n)!\, 2 }{(-1)^n (2\pi)^{2n+1}} \left( \zeta(2n+1,\tfrac 1 4) - \zeta(2n+1,\tfrac 3 4) \right) [/math]

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion [math]\zeta[/math] falls [math]n \not=0[/math] ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

[math]E_{2n} = 4^{2n+1} \zeta(-2n,\tfrac 1 4) [/math]

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf [math]\C\setminus\{1\}[/math] holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

[math]E_{2n}=- 4^{2n+1} \frac{B_{2n+1}(\tfrac 1 4)}{2n+1}[/math]

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen[math]B_n(x)[/math] und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

[math]E_{2n} = \frac{(-1)^n 4^{n+1} (2n)!}{\pi^{2n+1}} \cdot \beta(2n+1),[/math]

wobei [math]\beta(s)[/math] die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche Polynome

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome [math]\text{E}_n\colon \R \to \R[/math] werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

[math]\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty \text{E}_n(x) \frac{t^n}{n!}[/math]

implizit definiert. Die ersten lauten

[math] \text{E}_0(x) = 1[/math]
[math] \text{E}_1(x) = x - \tfrac 1 2[/math]
[math] \text{E}_2(x) = x^2 - x = x(x-1)[/math]
[math] \text{E}_3(x) = x^3 - \tfrac 3 2 x^2 + \tfrac 1 4 = \tfrac 1 4 (2x-1)(2x^2-2x-1)[/math]
[math] \text{E}_4(x) = x^4 - 2 x^3 + x = x(x-1)(x^2-x-1)[/math]
[math] \text{E}_5(x) = x^5 - \tfrac 5 2 x^4 + \tfrac 5 2 x^2 - \tfrac 1 2 = \tfrac 1 2 (2x-1)(x^2-x-1)^2[/math]
[math] \text{E}_6(x) = x^6 - 3x^5 + 5x^3 - 3x = x(x-1)(x^4-2x^3-2x^2+3x+3)[/math]

Man kann sie aber auch zu [math] \text{E}_0(x) = 1[/math] und dann für [math]n \in \N[/math] über die Gleichung

[math] \text{E}_n(x) = \int_c^x n \text{E}_{n-1}(t) \, \text{d} t[/math]

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze [math]c[/math] für ungerades [math]n[/math] 1/2 ist und für gerades [math]n[/math] Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um [math]\tfrac 1 2[/math], d.h.

[math] \text{E}_n(\tfrac 1 2+x) = (-1)^n \text{E}_n(\tfrac 1 2-x) \qquad { bzw. } \qquad \text{E}_n(x+1) = (-1)^n \text{E}_n(-x)[/math]

und ihre Funktionswerte an den Stellen [math] \tfrac 1 2[/math] und [math]0[/math] der Beziehung

[math] \text{E}_n(\tfrac 1 2) = 2^{-n} E_{n}[/math]

und

[math] \text{E}_{n-1}(0) = (2^{n+1}-2) \frac{B_{n}}{n}[/math]

genügen, wobei Bn die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

[math] \text{E}_n(x+1)+\text{E}_n(x)=2x^n [/math]

Das Eulersche Polynom [math]\text{E}_n[/math] hat für n > 5 weniger als n reelle Nullstellen. So hat zwar [math]\text{E}_5[/math] fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon [math]\text{E}_6[/math] nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei [math] R(n) = \{x \in \R\colon \text{E}_n(x)=0 \} [/math] die Nullstellenmenge. Dann ist

[math] -\tfrac 1 2 |R(n)| +1 \le \min R(n) \le \max R(n) \le \tfrac 1 2 |R(n)|[/math]

– wobei im Fall n=5 die Anzahl [math]|R(5)|[/math] als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

[math] \lim_{n \to \infty} \frac{ |R(n)| }{n} = \frac{2}{\pi e} \approx 0,2342[/math]

wobei die Funktion [math]|\cdot|[/math] angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen

Taylorreihen

Die Folge der Eulerschen Zahlen [math]E_n[/math] tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

[math]\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\cosh(\mathrm{i}\,x)}= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n E_n \frac{x^n}{n!}[/math]

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen [math]B_n[/math] was man auch an der Darstellung

[math]\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \sum_{n=0}^\infty (2-2^n)B_n \frac{x^{n-1}}{n!} [/math]

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei [math]\tfrac \pi 2[/math] – von [math]\tfrac \pi 2[/math] folgt aus dem Wurzelkriterium das [math]\limsup \log |\tfrac{E_n}{n!}| \sim n \log \left(\tfrac 2 \pi \right)[/math] asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans Hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

[math]\int\limits_0^\infty \frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\, dx=|E_n|\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}[/math].

Permutationen

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte [math]a_1, a_2, \ldots, a_{2n}[/math], so dass diese Permutation kein Tripel [math]a_{j-1}, a_j, a_{j+1}[/math] mit [math]1 \lt j \lt 2n[/math] enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl [math]A_{2n}[/math] der alternierenden Permutationen von [math]2n[/math] Elementen (die vergleichbar sind)

[math] A_{2n} = 2 |E_{2n}| [/math],

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl [math] n \in \N_0[/math] gilt

[math] A_n = 2 \, n!\, \alpha_n[/math]

mit [math] \alpha_0 = \alpha_1 = 1[/math] und

[math]\alpha_n= \frac 1 {2n} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha_j \alpha_{n-1-j}[/math]

für [math]n \geq 2[/math], womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der [math]E_{2n}[/math] erhält. Für ungerades [math]n[/math] werden die Werte [math]\tfrac {A_n} 2[/math] auch Tangentenzahlen genannt.

Literatur

  • J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681-687

Einzelnachweise

  1. M. Abramowitz amd I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover, N.Y. 1964, p. 807

Weblinks


Kategorien: Permutationstheorie | Ganzzahlmenge | Analysis

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