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Eulersche Formel


Die nach Leonhard Euler genannte eulersche Formel bzw. Eulerformel, in manchen Quellen auch eulersche Relation, ist eine Gleichung, die eine grundsätzliche Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Exponentialfunktionen mittels komplexer Zahlen darstellt.

Die eulersche Formel erschien erstmals 1748 in Leonhard Eulers zweibändiger Introductio in analysin infinitorum, zunächst unter der Prämisse, dass der Winkel eine reelle Zahl ist. Diese Einschränkung jedoch erwies sich bald als überflüssig, denn die eulersche Formel gilt gleichermaßen für alle reellen wie komplexen Argumente. Dies ergibt sich aus der reellen eulerschen Formel in Verbindung mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Eulersche Formel

Die eulersche Formel bezeichnet die für alle [math]y\in\mathbb R[/math] gültige Gleichung

[math]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} = \cos\left(y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y\right)[/math],

wobei die Konstante [math]\mathrm{e}[/math] die eulersche Zahl (Basis der natürlichen Exponentialfunktion bzw. des natürlichen Logarithmus) und die Einheit [math]\mathrm{i}[/math] die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen bezeichnen. Als Folgerung aus der eulerschen Formel ergibt sich für alle [math]z = {x+\mathrm{i}y} \in\Bbb C[/math] die Gleichung

[math]\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x \cdot \left(\cos\left( y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y \right)\right)[/math].

Herleitung mittels Reihenentwicklung

Die eulersche Formel lässt sich auf einfache Weise aus den taylorschen Reihenentwicklungen der Funktionen [math]\mathrm{e}^y, \sin y[/math] und [math]\cos y[/math], [math] y\in \mathbb R [/math], herleiten:

[math]\begin{align} \mathrm{e}^{\mathrm{i} y} &= 1 + \mathrm{i} y + {(\mathrm{i} y)^2 \over 2!} + {(\mathrm{i} y)^3 \over 3!} + {(\mathrm{i} y)^4 \over 4!} + \dots\\ &= \left(1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \dots \right) + \mathrm{i} \cdot \left(y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \dots \right)\\ &= \cos (y) + \mathrm{i}\cdot \sin (y) \end{align}[/math]

Eulersche Identität

Für [math]y = \pi[/math] ergibt sich aus der eulerschen Formel die sogenannte eulersche Identität

[math]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\pi} = {-1}[/math],

die einen einfachen Zusammenhang zwischen vier der bedeutendsten mathematischen Konstanten herstellt: der eulerschen Zahl [math]\mathrm{e}[/math], der Kreiszahl [math]\mathrm{\pi}[/math], der imaginären Einheit [math]\mathrm{i}[/math] sowie der reellen Einheit [math]1[/math]. Die folgende umgeformte Variante der Gleichung wird bisweilen – obwohl komplizierter – bevorzugt, da in ihr mit der Null noch eine weitere mathematisch bedeutende Konstante hinzukommt:

[math]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\pi}+1=0[/math].

Erweitert man die Definition des Zahlenwerts von [math]\mathrm{e}^z[/math] als Grenzwert [math]\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + z/n)^n[/math] auf die komplexe Zahlenebene mit [math]z\in\Bbb C[/math], so ergibt sich dementsprechend für [math]z = \mathrm{i}\pi[/math] der Wert [math]{-1}[/math]. Die nebenstehende Animation zeigt die zu einem Streckenzug in der komplexen Ebene verbundenen Zwischenergebnisse der Berechnung des Ausdrucks [math](1+\mathrm{i}\pi/n)^n[/math]: Sie veranschaulicht, dass dieser Streckenzug für wachsendes [math]n[/math] die Form eines Kreisbogens annimmt, dessen linkes Ende sich tatsächlich der Zahl [math]{-1}[/math] auf der reellen Achse nähert.

Verwandtschaft zwischen Exponential- und Winkelfunktionen

Da es mit Hilfe der Eulerformel möglich ist, trigonometrische Funktionen als Linearkombinationen imaginärer Exponentialfunktionen darzustellen, ist sie ein zentrales Bindeglied zwischen Exponentialfunktionen und Trigonometrie:

[math]\sin x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}, \quad \cos x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}[/math].

Die exponentielle Schreibweise der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus leitet sich daraus her, dass eine Gleichung aufgestellt wird, in der eine komplexe Zahl mit Betrag [math]1[/math] und Winkel [math]x[/math] mit ihrer komplex konjugierten Zahl addiert (um auf den Cosinus zu kommen) bzw. subtrahiert wird (um auf den Sinus zu kommen). Auf der anderen Seite der Gleichung steht die Entsprechung in trigonometrischer Form (der Zusammenhang ist durch die eulersche Identität gegeben):

[math]\mathrm e^{\mathrm{i}x} + \mathrm e^{-\mathrm{i}x} = (\cos x + \mathrm{i} \sin x) + (\cos x - \mathrm{i} \sin x) = 2 \cdot \cos x \Rightarrow \cos x = {\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \over 2}[/math]
[math]\mathrm e^{\mathrm{i}x} - \mathrm e^{-\mathrm{i}x} = (\cos x + \mathrm{i} \sin x)-(\cos x - \mathrm{i} \sin x) = 2 \mathrm{i} \cdot \sin x \Rightarrow \sin x = {\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \over 2\mathrm{i}}[/math]

Im Endeffekt ermöglicht die Eulerformel damit eine völlig neue Sicht auf die trigonometrischen Funktionen, da die in der herkömmlichen Trigonometrie allein mit reellen Argumenten verwendeten Funktionen Sinus und Kosinus nun auch noch eine Bedeutung in der komplexen Analysis erhalten. Mehr noch: Versieht man sie mit imaginären Argumenten, wird dadurch eine Brücke zu den Hyperbelfunktionen geschlagen:

[math] \sin(\mathrm{i}y) = {\mathrm{e}^{-y} - \mathrm{e}^{y} \over 2\mathrm{i}} = \mathrm{i} \, \frac{\mathrm{e}^y - \mathrm{e}^{-y}}{2} = \mathrm{i} \sinh(y)[/math]
[math] \cos(\mathrm{i}y) = \frac{\mathrm{e}^{-y} + \mathrm{e}^{y}}{2}= \frac{\mathrm{e}^y + \mathrm{e}^{-y}}{2} = \cosh(y) [/math]

Wie zu sehen, entsprechen die beiden erhaltenen Funktionen genau den Definitionen des Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus.

Eine Folge der Verbindung von trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktion aus der Eulerformel ist der Moivresche Satz (1730).

Weitere Anwendungen

Ausgehend davon findet die eulersche Formel auch zur Lösung zahlreicher anderer Probleme Anwendung, etwa bei der Berechnung der Potenz [math]\mathrm{i}^{\mathrm i}[/math] der imaginären Einheit mit sich selbst. Obwohl das erhaltene Resultat mehrdeutig ist, bleiben alle Einzellösungen im reellen Bereich mit einem Hauptwert von [math]\mathrm{i}^{\mathrm i} = \mathrm{e}^{-\pi/2} = 0{,}207\,879\dots[/math]

Eine praktisch wichtige Anwendung der eulerschen Formel findet sich im Bereich der Wechselstromtechnik, namentlich bei der Untersuchung und Berechnung von Wechselstromkreisen mit Hilfe komplexer Zahlen.

Siehe auch

Literatur


Kategorien: Trigonometrie | Analysis

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