Eulersche Differentialgleichung - LinkFang.de





Eulersche Differentialgleichung


Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form

[math]\sum_{k=0}^N a_k \, (cx+d)^k\;y^{(k)}(x) = b(x)\ ,\ cx + d \gt 0[/math]

zu gegebenen [math]N \in \mathbb{N},\ a_0, \ldots, a_N,c,d \in \mathbb{R},\ c \neq 0[/math] und Inhomogenität [math]b[/math]. Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur [math]b \equiv 0[/math] betrachtet zu werden.

Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation [math]z(t) := y\left(\tfrac{e^t-d}{c}\right)[/math] in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.

Motivation der Transformation

Sei [math]y[/math] eine genügend glatte Funktion und

[math]z(x) := y\left(\frac{e^x-d}{c}\right)[/math], also [math]\ y(x) = z(\ln(cx+d))[/math].

Dann gilt

[math]\begin{array}{lll} y'(x)&=&\frac{c}{cx+d}z'(\ln(cx+d))\ ,\\ y''(x)&=&\frac{c^2}{(cx+d)^2}z''(\ln(cx+d)) - \frac{c^2}{(cx+d)^2}z'(\ln(cx+d))\ ,\\\end{array}[/math]

also

[math]\begin{array}{lll} (cx+d)y'(x)&=&c\cdot z'(\ln(cx+d))\ ,\\ (cx+d)^2y''(x)&=&c^2\cdot [z''-z'](\ln(cx+d))\ .\\\end{array}[/math]

Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:

  • Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung [math](cx+d)^ky^{(k)}(x)[/math] in welche mit konstanten Koeffizienten?
  • Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, als jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?

Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:

Der Transformationssatz

Sei [math]z[/math] Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

[math]\sum_{k=0}^{n}a_kc^k\left(\left[\prod_{j=0}^{k-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(x) = 0\ .[/math]

Dann ist

[math]\ y(x) := z(\ln(cx+d))[/math]

eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung

[math]\sum_{k=0}^N a_k(cx+d)^ky^{(k)}(x) = 0\ ,\ cx+d \gt 0\ .[/math]

Erläuterung zur Notation

Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:

[math]\left[\prod_{j=0}^{-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = z\ ,[/math]
[math]\left[\prod_{j=0}^0\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-0\right)z = z'\ ,[/math]
[math]\left[\prod_{j=0}^1\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-0\right)\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-1\right)z = \left(\frac{{\rm d^2}}{{\rm d}x^2}-\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\right)z = z'' - z'\ ,[/math]
[math]\left[\prod_{j=0}^2\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-0\right)\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-1\right)\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-2\right)z = \left(\frac{{\rm d^3}}{{\rm d}x^3}-3\frac{{\rm d^2}}{{\rm d}x^2}+2\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\right)z = z''' - 3z'' + 2z'\ .[/math]

Beweis

Zu zeigen ist lediglich [math]c^k\left(\left[\prod_{j=0}^{k-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d)) = (cx+d)^ky^{(k)}(x)[/math] für alle [math]k \in \mathbb{N}_0[/math]. Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang [math]k=0[/math] ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für [math]k_0 \in \mathbb{N}_0[/math] kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich

[math](cx+d)^{k_0}y^{(k_0+1)}(x) + ck_0(cx+d)^{k_0-1}y^{(k_0)}(x) = \frac{c^{k_0+1}}{cx+d}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\ .[/math]

Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert

[math]\begin{array}{lll} (cx+d)^{k_0+1}y^{(k_0+1)}(x)&=&c^{k_0+1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d)) - ck_0(cx+d)^{k_0}y^{(k_0)}(x)\\ &=&c^{k_0+1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ &&\quad - c^{k_0+1}k_0\left(\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ &=&c^{k_0+1}\left(\left[\prod_{j=0}^{k_0}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\ .\\ \end{array}[/math]
[math]\Box[/math]

Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems

Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von [math]z[/math] lautet

[math]\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^{n}a_kc^k\prod_{j=0}^{k-1}(\lambda-j) = 0\ .[/math]

Bezeichnen nun [math]\lambda_1, \ldots, \lambda_M[/math] die Nullstellen des charakteristischen Polynoms [math]\chi(\lambda)[/math] und [math]R_j[/math] die Vielfachheit von [math]\lambda_j[/math], so bildet

[math]\{z_{j,k}(x) = e^{\lambda_jz}z^k\ |\ j = 1, \ldots, M\ ,\ k = 0, \ldots, R_j-1\}[/math]

ein Fundamentalsystem der Gleichung für [math]z[/math]. Also ist

[math]\{y_{j,k}(x) = (cx+d)^{\lambda_j}[\ln(cx+d)]^k\ |\ j = 1, \ldots, M\ ,\ k = 0, \ldots, R_j-1\}[/math]

ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.

Beispiel

Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung

[math]a_2x^2y''(x)+a_1xy'(x)+a_0y(x)=0\ ,\ a_2 \neq 0\ ,\ x \gt 0\ .[/math]

Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

[math]a_2(z''(x)-z'(x)) + a_1z'(x) + a_0z(x) = 0\ ,[/math]

also

[math]a_2z''(x) + (a_1-a_2)z'(x) + a_0z(x) = 0\ .[/math]

Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet

[math]\chi(\lambda)=\ a_2\lambda^2+(a_1-a_2)\lambda+a_0[/math]

und besitzt die Nullstellen

[math]\lambda_{1,2}=\frac{a_2-a_1}{2a_2}\pm \sqrt{\frac{(a_2-a_1)^2}{4a_{2}^2}-\frac{a_0}{a_2}}\ .[/math]

Fall 1: [math]\lambda_1 \ne \lambda_2[/math], beide reell.

Dann ist [math]\{e^{\lambda_1 z}, e^{\lambda_2 z}\}[/math] ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass [math]\{x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}\}[/math] ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 2: [math]\ \lambda_1 = \lambda_2[/math].

Dann ist [math]\lambda := \frac{a_2-a_1}{2a_2}[/math] eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist [math]\ \{e^{\lambda z}, ze^{\lambda z}\}[/math] ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass [math]\ \{x^\lambda, x^\lambda\ln x\}[/math] ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 3: [math]\ \lambda_1, \lambda_2[/math] beide nicht reell.

Dann sind [math]\ \lambda_1, \lambda_2[/math] komplex konjugiert zueinander. Also ist [math]\ \{e^{\lambda_1 z}, e^{\lambda_2 z}\}[/math] ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei [math]\ \lambda_1 = \mu + i\nu[/math], [math]\mu, \nu \in \mathbb{R}[/math]. Dann ist [math]\ \{e^{\mu z}\sin(\nu z), e^{\mu z}\cos(\nu z)\}[/math] ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert [math]\ \{x^\mu\sin(\nu \ln x), x^\mu\cos(\nu \ln x)\}[/math] als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.

[math]\Box[/math]

Literatur


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche Differentialgleichung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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