Eulersche Betafunktion - LinkFang.de





Eulersche Betafunktion


Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit [math]\Beta[/math] bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

[math]\Beta(x,y) = \int\limits_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, \mathrm{d}t,[/math]

wobei [math]x[/math] und [math]y[/math] einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion war die erste bekannte Streuamplitude in der Stringtheorie. Sie tritt darüber hinaus bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines

Bei festem [math]x[/math] (bzw. [math]y[/math]) ist [math]\Beta[/math] eine meromorphe Funktion von [math]y[/math] (bzw. [math]x[/math]), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

[math] \Beta(x,y) = \Beta(y,x) [/math].

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit [math]Re(x) \gt 0[/math] und [math]Re(y) \gt 0[/math]

[math] \begin{align} \Beta(x,y) & =\int\limits_0^\infty \frac{t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}\,\mathrm{d}t \\ & = 2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2y-1}(t) \cos^{2x-1}(t) \mathrm{d}t. \end{align} [/math]

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

[math]\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}[/math]

wobei [math] \Gamma[/math] die Eulersche Gammafunktion bezeichnet. An dieser Darstellung kann man auch ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang [math]x=k[/math] und [math]y=k[/math] für ganze Zahlen [math]k \leq 0[/math] hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass [math]\Beta(x,y)[/math] für alle rationalen, nicht ganzzahligen x, y transzendent ist.[1]

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

[math] \Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, \qquad \textrm{Re}(x)\gt0,\ \textrm{Re}(y)\gt0 [/math]
[math] \Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \textrm{Re}(x)\gt0,\ \textrm{Re}(y)\gt0 [/math]
[math] \Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n}, [/math]
[math] \Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, [/math]
[math] \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}, [/math]
[math] \Beta(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)} [/math]

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

[math]{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.[/math]

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive [math]x[/math] und [math]y[/math] auf:

[math]\Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}[/math].

Ableitung

Die Ableitung ist gegeben durch

[math]{\partial \over \partial x} \Beta(x, y) = \Beta(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \Beta(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))[/math]

wobei [math]\psi(x)[/math] die Digamma-Funktion ist.

Einzelnachweise

  1. Theodor Schneider: Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1] )

Weblinks


Kategorien: Analytische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche Betafunktion (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.