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Epsilontik


Epsilontik ist eine saloppe, teilweise auch abwertende Bezeichnung für eine mathematische Notation, die in der Analysis weite Anwendung findet. Sie wird verwendet, um den Grenzwertbegriff mathematisch exakt formulieren zu können. Der Betrag der Abweichung von dem Grenzwert wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben Epsilon [math](\varepsilon)[/math] bezeichnet. Um z. B. die Konvergenz einer reellen Folge [math]\!\ f_n[/math] gegen den Grenzwert [math]\!\ f[/math] zu beweisen, zeigt man, dass für jede noch so kleine Zahl [math]\varepsilon\gt0[/math] mit [math]\varepsilon\in\R[/math] eine Zahl [math]\!\ n_0 \in \N[/math] so existiert, dass für jedes [math]\!\ n\gtn_0[/math] gilt: [math]|f_n-f|\lt\varepsilon[/math].

Oder in den beiden gebräuchlichen Quantoren-Schreibweisen:

1 [math]\bigwedge_{\varepsilon \gt0}[/math] [math]\bigvee_{n_0}[/math] [math]\bigwedge_{n\gtn_0}[/math] [math]\left| f_n-f \right| \lt \varepsilon[/math]
2 [math]\forall \varepsilon \gt0[/math] [math]\exists n_0[/math] [math]\forall n\gtn_0:[/math] [math]\left| f_n-f \right| \lt \varepsilon[/math]
zu lesen als: Zu jedem Epsilon größer null existiert ein n-null, für das gilt, dass für alle n größer n-null gilt: Betrag von fn minus f ist kleiner als Epsilon.

Da Beweise für die Konvergenz einer Folge in der Epsilontik oft den Satz „Sei [math]\varepsilon\gt0[/math]“ enthalten, gibt es Witze wie die (einem Mathematiker absurd erscheinende) Variante „Sei [math]\varepsilon\lt0[/math]“.

Die Epsilontik geht auf Karl Weierstraß zurück, der erstmals die Epsilon-Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingeführt hat.[1] Mit dieser Definition wird lediglich verlangt, dass Variablen in einem bestimmten Bereich liegen, und nicht mehr davon geredet, dass Variablen sich auf einen Grenzwert hinbewegen. Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert, so stellte nun die Notation der Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das eine exakte Problemdefinition und Beweisbarkeit ermöglichte.

Quellen

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f..

Kategorien: Analysis

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Epsilontik (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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