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Endliche Gruppe


Endliche Gruppen treten im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie auf. Eine Gruppe [math](G,*)[/math] heißt endliche Gruppe, wenn [math]G[/math] eine endliche Menge ist, also eine endliche Anzahl von Elementen hat.

Axiome

Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem (siehe van der Waerden S. 15–17):

Ein Paar [math](G,*)[/math] mit einer endlichen Menge [math]G[/math] und einer inneren zweistelligen Verknüpfung [math]*\,\colon\, G\times G\rightarrow G[/math] heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  • Assoziativität: Für alle Gruppenelemente [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] gilt: [math](a * b) * c = a * (b* c)[/math]
  • Eindeutigkeit der Kürzung: Aus [math]a * x=a * x'[/math] wie auch aus [math]x * a=x' * a[/math] folgt: [math]x = x'[/math].

Aus der Eindeutigkeit der Kürzung folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen [math]x\mapsto a * x[/math] und [math]x\mapsto x * a[/math] injektiv sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die Surjektivität folgt. Daher gibt es ein [math]x[/math] mit [math]a * x = a[/math], was zur Existenz des neutralen Elementes [math]e[/math] führt, und dann ein [math]x[/math] mit [math]a * x = e[/math], was die Existenz der inversen Elemente zeigt.

Endliche Untergruppe

Die allgemeine Bedingung, dass die endliche Gruppe [math]S[/math] eine Untergruppe der Gruppe [math]G[/math] ist,

S1:   [math]a, b \in S \Rightarrow a * b \in S[/math]
S2:   [math]a \in S \Rightarrow a^{-1} \in S[/math]

vereinfacht sich ebenfalls, da S2 aus S1 folgt: Wenn [math]S[/math] endlich ist, muss jedes Element [math]a[/math] von [math]S[/math] eine endliche Ordnung [math]n[/math] besitzen, d. h. [math]a^n = e[/math]. Das bedeutet aber, dass [math]a^{n-1} = a^{-1}[/math] bereits in [math]S[/math] ist. Eine nichtleere endliche Teilmenge [math]S[/math] einer beliebigen Gruppe ist also genau dann eine Untergruppe, wenn für alle [math]a,b \in S[/math] auch [math]a * b[/math] in [math]S[/math] liegt.

Einfache Gruppen

Jede endliche Gruppe ist zusammengesetzt aus einer endlichen Anzahl von endlichen einfachen Gruppen. Allerdings kann diese Zusammensetzung kompliziert sein, und trotz der Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.

Dieser Artikel oder Abschnitt ist nicht ausreichend belegt.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert:

Beispiele

Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe).

Zu den sporadischen Gruppen zählen die Conway-Gruppe, das Babymonster und die Monstergruppe (mit fast 1054 Elementen die größte sporadische Gruppe).

Anwendungen

Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene Raumgruppen.

Siehe auch

Weblinks

Literatur


Kategorien: Gruppentheorie | Endliche Gruppe

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