Elliptisches Integral - LinkFang.de





Elliptisches Integral


Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

[math]\int R \left(x,\sqrt{P(x)} \right) \mathrm dx,[/math]

wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art: [math]\int \frac {\mathrm dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}[/math]

II. Art: [math]\int \sqrt {\frac {1 - k^2x^2}{1 - x^2}}\, \mathrm dx[/math]

III. Art: [math]\int \frac {\mathrm dx}{(1 - nx^2) \sqrt {(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}[/math]

Dabei ist [math]0 \lt k \lt 1.[/math] Durch die Substitution [math]x = \sin\vartheta[/math] werden diese Integrale auf die Legendre-Form gebracht:

I. Art: [math]F(\varphi,k) = \int_0^\varphi \frac {\mathrm d\vartheta}{\sqrt{1 - k^2(\sin\vartheta)^2}}[/math]

II. Art: [math]E(\varphi,k) = \int_0^\varphi \sqrt {1 - k^2(\sin\vartheta)^2}\, \mathrm d\vartheta[/math]

III. Art: [math]\Pi(\varphi,n,k) = \int_0^\varphi \frac {\mathrm d\vartheta}{(1 - n(\sin\vartheta)^2) \sqrt {1 - k^2(\sin\vartheta)^2}}[/math]

Vollständige elliptische Integrale

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze [math]\pi/2[/math], spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen:

[math]K(k) = F(\tfrac{\pi}{2},k)[/math]
[math]E(k) = E(\tfrac{\pi}{2},k)[/math]
[math]\Pi(n,k) = \Pi(\tfrac{\pi}{2},n,k)[/math]

Die Werte dieser Integrale sind tabelliert. Sie lassen sich auch mit Hilfe von Potenzreihen berechnen:[1]

[math]K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}\right)^2 k^{2n} \right) [/math]
[math]E(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left[\frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2}\right]^2 \tfrac{k^{2n}}{1-2n} = \frac{\pi}{2} \left(1 - \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{(2n-1)!!} {(2n)!!} \right)^2 \tfrac{k^{2n}}{2n-1} \right) = \frac{\pi}{2} \left( 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!} \right)^2 \tfrac{k^{2n}}{2n-1} \right) [/math]

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind den trigonometrischen Funktionen verwandt.

Literatur

  • Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press 1924, archive.org.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Siehe Eric Weisstein: Complete Elliptic Integral of the First Kind . In: MathWorld (englisch). Die Form ohne das !!-Symbol stammt aus: Bronstein/Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Frankfurt/Main 1991, S. 223.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisches Integral (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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