Element (Mathematik) - LinkFang.de





Element (Mathematik)


Ein Element in der Mathematik ist immer im Rahmen der Mengenlehre oder Klassenlogik zu verstehen. Die grundlegende Relation, wenn x ein Element ist und M eine Menge oder Klasse ist, lautet:

x ist Element von M“ oder mit Hilfe des Elementzeichens „x ∈ M“.

Die Mengendefinition von Georg Cantor beschreibt anschaulich, was unter einem Element im Zusammenhang mit einer Menge zu verstehen ist:

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“[1]

Diese anschauliche Mengenauffassung der naiven Mengenlehre erwies sich als nicht widerspruchsfrei. Heute wird daher eine axiomatische Mengenlehre benutzt, meist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, teilweise auch eine allgemeinere Klassenlogik.

Beispiele

Einfache Beispiele

Beispiele von Elementen lassen sich offensichtlich nur mit Bezug auf die sie enthaltende Menge angeben. In der Mathematik bieten Zahlenmengen geeignete Beispiele:

[math]5 \in \mathbb{N}[/math]
5 ist ein Element der Menge der natürlichen Zahlen
[math] {3 \over 4} \in \mathbb{Q}[/math]
3/4 ist ein Element der Menge der rationalen Zahlen
[math] \sqrt{2} \in \mathbb{R}[/math]
die Quadratwurzel aus 2 ist ein Element der Menge der reellen Zahlen
[math] \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}[/math]
die Quadratwurzel aus 2 ist kein Element der Menge der rationalen Zahlen

Spezielle Beispiele

In einigen Teildisziplinen der Mathematik treten bestimmte Typen von Elementen immer wieder auf. Diese speziellen Elemente haben dann feste Namen.

In der Gruppentheorie treten spezielle Mengen auf, deren Elemente miteinander verknüpft werden. Bei einer solchen Verknüpfung entsteht dann wieder ein Element der Menge. Es muss aus Gründen der Definition einer Gruppe immer ein spezielles Element geben, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen anderen Element jenes nicht verändert. Dieses spezielle Element wird als neutrales Element bezeichnet.

Daneben muss aufgrund der Definition der Gruppe auch zu jedem Element der Gruppe ein Gegenstück existieren, welches unter Verknüpfung gerade das neutrale Element ergibt. Dieses Gegenstück wird als inverses Element (zu einem gegebenen Element) bezeichnet.

Innerhalb der ganzen Zahlen ist die Null ein neutrales Element bezüglich der Addition. Wenn man zu einer beliebigen Zahl [math]x[/math] null addiert, erhält man wiederum [math]x[/math]:

[math]\begin{matrix}{x + 0 = x}\end{matrix}[/math]

Und entsprechend ist zu einer ganzen Zahl [math]x[/math] die Zahl [math]-x[/math] das inverse Element:

[math]\begin{matrix}{x + \left( -x \right) = 0}\end{matrix}[/math]

Innerhalb der reellen Zahlen ist die Zahl 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Wenn man eine beliebige reelle Zahl [math]x[/math] mit der 1 multipliziert, erhält man wiederum [math]x[/math]:

[math]x \cdot 1 = x[/math]

Entsprechend ist zu einer von null verschiedenen reellen Zahl [math]x[/math] der Kehrwert [math]\tfrac{1}{x}[/math] das inverse Element der Multiplikation:

[math]x \cdot {1\over x} = 1 [/math]

Kompliziertere Beispiele

Das Konzept des Elementes und der Menge kann auch komplizierter sein. So kann etwa eine Menge Elemente enthalten, die wiederum selbst Mengen sind. Man könnte beispielsweise eine Menge [math]T[/math] definieren, die die schon genannten Mengen ([math]\mathbb{N}[/math]: natürliche Zahlen, [math]\mathbb{Q}[/math]: rationale Zahlen und [math]\mathbb{R}[/math]: reelle Zahlen) als ihre drei Elemente enthält:

[math]T:=\{\mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\}[/math]

Dann wäre [math]\mathbb{N}\in T[/math] (die Menge der natürlichen Zahlen ist ein Element der Menge [math]T[/math]).

Tatsächlich werden im mengentheoretischen Aufbau der Mathematik auf diese Weise die natürlichen Zahlen formal definiert:

[math]\begin{align} 0 & := \emptyset \\ 1 & := \{\emptyset\} = \{ 0 \} \\ 2 & := \{\emptyset, \{\emptyset\} \} = \{0,1\} \\ 3 & := \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\} \}\} = \{0,1,2\} \\ & \ \ \vdots \end{align}[/math]

Literatur

Einzelnachweise

  1. Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Bd. 46, Nr. 4, ISSN 0025-5831 , S. 481–512, doi:10.1007/BF02124929 .
ru:Множество#Элемент множества

Kategorien: Mathematischer Grundbegriff | Mengenlehre

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Element (Mathematik) (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.