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Eigenraum


Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet den von den Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus aufgespannten Untervektorraum.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Definition

Sei [math]V[/math] ein Vektorraum über einem Körper [math]K[/math] und [math]\varphi \in \operatorname{End}(V)[/math] ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung [math]\varphi \colon V \to V[/math]. Der Eigenraum [math]E(\lambda)[/math] zum Eigenwert [math]\lambda[/math] von [math]\varphi[/math] ist dann

[math] \begin{align} E(\lambda)&:=\mathrm{Kern}(\varphi - \lambda \mathrm{id}_V) \\ &=\left\{ x \in V \mid \varphi (x)= \lambda x \right\} \\ &=\left\{ x \in V \mid x \neq 0, \ \varphi(x) = \lambda x \right\} \cup \left\{ 0 \right\} \end{align} [/math]

Man sagt dann auch, [math]E\left(\lambda\right)\subseteq V[/math] ist invariant bezüglich des Endomorphismus [math]\varphi[/math] oder [math]E\left(\lambda\right)[/math] ist ein [math]\varphi[/math]-invarianter Untervektorraum von [math]V[/math]. Die Elemente [math]x[/math] von [math]E\left(\lambda\right)[/math] sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert [math]\lambda[/math] von [math]\varphi[/math], sowie der Nullvektor.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums [math]E \left (\lambda\right)[/math] wird als geometrische Vielfachheit von [math]\lambda[/math] bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von [math]\lambda[/math].

Eigenschaften

  • Existiert ein Eigenwert [math]\lambda=0[/math] von [math]\varphi[/math], so ist der zugehörige Eigenraum [math]E\left(\lambda\right)[/math] gleich dem Kern von [math]\varphi[/math]. Denn [math]\operatorname{Kern}\left(\varphi\right)=\left\{x\in V \mid \varphi\left(x\right)=0\right\}[/math] und nach Definition des Eigenraumes: [math]E\left(0\right)=\left\{x\in V \mid \varphi\left(x\right)=0x=0\right\}[/math].
  • Die Summe von Eigenräumen zu [math]n[/math] paarweise verschiedenen Eigenwerten [math]\lambda_1,\dotsc,\lambda_n[/math] von [math]\varphi[/math] ist direkt:
[math]E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = E(\lambda _1) \oplus \dots \oplus E(\lambda _n)[/math]
  • Gilt im obigen Fall [math]E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = V[/math], so besitzt [math]V[/math] eine Basis aus Eigenvektoren von [math]\varphi[/math]. In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix [math]A[/math] von [math]\varphi\in\operatorname{End}\left(V\right)[/math] bezüglich einer Basis von [math]V[/math] diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix [math]A'[/math] von [math]\varphi[/math] bezüglich einer Basis von [math]V[/math] aus Eigenvektoren von [math]\varphi[/math] hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von [math]A'[/math] stehen dann die Eigenwerte von [math]\varphi[/math]:
[math] A'= \begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}[/math]

Literatur

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).

Kategorien: Vektorraum

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenraum (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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