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Eigenfrequenz


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Die Eigenfrequenz eines schwingfähigen Systems ist eine Frequenz, mit der das System nach einmaliger Anregung als Eigenform schwingen kann.

Wenn einem solchen System von außen Schwingungen aufgezwungen werden, deren Frequenz mit der Eigenfrequenz übereinstimmt, reagiert das System bei schwacher Dämpfung mit besonders großen Amplituden, was man als Resonanz bezeichnet.

Eigenfrequenzen in mechanischen Systemen

Die Berechnung der Eigenfrequenzen eines Systems wird als Modalanalyse bezeichnet. Die zugrundeliegende Theorie beruht auf der Annahme einer freien Schwingung. Klassischerweise werden mechanische Systeme anhand ihrer Freiheitsgrade (engl. Degrees Of Freedom (DOF)) eingeteilt. Die Einführung in die Berechnung der Eigenfrequenzen erfolgt anhand dem einfachen Einmassenschwingers mit einem Freiheitsgrad (engl. Single DOF). Dieser wird erweitert auf ein Multi Degrees of Freedom (MDOF) System.

In realen mechanischen Systemen treten je nach Art der vorhergegangenen Anregung verschiedene überlagerte Eigenformen auch Moden genannt auf. Das Ermitteln der Eigenformen und zugehörigen Eigenfrequenzen ist das Fachgebiet der experimentellen Modalanalyse. Hierzu wird das System zur Schwingung angeregt und die Systemantwort gemessen. Mittels Fourier-Transformation lassen sich die Eigenformen trennen und die zugehörigen Eigenfrequenzen ermitteln.

Einmassenschwinger (SDOF)

Der Einmassenschwinger besteht aus der Masse [math]m[/math], einer linearen Feder mit der Steifigkeit [math]k[/math] und einem geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer [math]d[/math]. Der Freiheitsgrad [math]x(t)[/math] gibt die Auslenkung um die Ruhelage zur Zeit [math]t[/math] an. Die Geschwindigkeit der Masse [math]\dot x(t)[/math] und die Beschleunigung [math]\ddot x(t)[/math] folgen durch die zeitlichen Ableitungen.

Die auf die Masse wirkenden Kräfte ergeben sich aus [math]F_k=k\cdot x[/math] für die Federkraft und [math]F_d=d\cdot\dot x[/math]. Damit die Bewegungsgleichung für den freischwingenden Einmassenschwinger zu

[math] m\,\ddot x(t)+d\,\dot x(t)+c\,x(t)= 0 \quad. [/math]

Als Lösungsansatz für die Differentialgleichung wird

[math] x(t)=X\,e^{\lambda t} \quad \textrm{ , } \quad \dot x(t)=\lambda\,X\,e^{\lambda t} \quad \textrm{ und } \quad \ddot x(t)=\lambda^{2}\,X\,e^{\lambda t} \quad. [/math]

gewählt. Wobei [math]X[/math] eine Konstante und [math] \lambda [/math] eine komplexe Zahl sein kann. Dies eingesetzt in die Bewegungsgleichung ergibt

[math] m\,\lambda^{2}\,X\,e^{\lambda t}+d\,\lambda\,X\,e^{\lambda t}+c\,X\,e^{\lambda t}= 0 \quad, [/math]

wobei sich dies auf das charakteristische Polynom

[math] \lambda^{2}+\frac{d}{m}\,\lambda+\frac{c}{m}= 0 [/math]

umformen lässt. Durch Einführen von [math]2\delta=\frac{d}{m}[/math] und [math]\omega^2_0=\frac{c}{m}[/math] verbleibt

[math] \lambda^{2}+\lambda\, 2\delta+\omega^2_0= 0 \quad . [/math]

Hierbei bezeichnet [math] \omega_0 [/math] die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz des Einmassenschwingers. Die Kreisfrequenz (Einheit rad/s) lässt sich durch den Zusammenhang [math]\omega=2\pi f [/math] in eine Frequenz [math]f [/math](Einheit Hz=1/s) umrechnen.

Das Ergebnis für [math]\lambda_{1,2}[/math] folgt durch Lösen der quadratischen Gleichung mit

[math] \lambda_{1,2}=-\delta\pm\sqrt{\delta^{2}-\omega^{2}_{0}}\quad. [/math]

Das Ergebnis für die freie Schwingung des Einmassenschwingers erfolgt damit durch Linearkombination des gewählten Ansatzes [math] x(t)=X\,e^{\lambda t} [/math] zu

[math] x(t)=X_1\,e^{\lambda_1 t}+X_2\,e^{\lambda_2 t}. [/math]

Je nach Real- und Imaginärteil der Komplexen Zahlen [math]\lambda_{1,2}[/math] stellt sich eine Schwingung ein. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden:

  • [math]\delta=0[/math] ungedämpfte Schwingung Das System schwingt mit der Eigenkreisfrequenz [math]\omega_0[/math].
  • [math]\delta\lt\omega[/math] gedämpfte Schwingung Das System schwingt mit der Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems [math]\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}[/math].
  • [math]\delta=\omega[/math] aperiodischer Grenzfall Es tritt gerade keine Schwingung auf.
  • [math]\delta\gt\omega[/math] starke Dämpfung Es tritt keine Schwingung auf.

Mehrere Freiheitsgrade (MDOF)

Die Systemgleichung eines ungedämpften Schwingungsfähigen mechanischen Systems ohne externe Anregung lautet

[math] \mathbf{M}\,\ddot{\mathbf{u}}+\mathbf{K}\,\mathbf{u}=0 \quad . [/math]

In dieser Matrizengleichung ist

  • [math] \mathbf{M} [/math] die Massenmatrix,
  • [math] \mathbf{K} [/math] die Steifigkeitsmatrix und
  • [math] \mathbf{u} [/math] der Verschiebungsvektor.

Gleichungsysteme dieser Art ergeben sich in der Berechnung von mechanischen Systemen mittels Mehrkörpersimulation (MKS) und Finite-Elemente-Methode (FEM).

Als Lösungsansatz bedient man sich

[math] \mathbf{u}(t)=\mathbf{\phi}\,e^{i \omega t} \quad \textrm{ und } \quad \ddot\mathbf{u}(t)= - \omega^2 \mathbf{\phi}\,e^{i \omega t} \quad. [/math]

Wobei [math] i=\sqrt{-1} [/math] die imaginäre Zahl ist und im nachfolgenden [math] \omega^2=\lambda [/math] wird.

Eingesetzt in die Systemgleichung ergibt sich das Eigenwertproblem

[math] [\mathbf{K}-\mathbf{M}\,\lambda]\,\mathbf{\phi}=0 \quad. [/math]

Eine Lösung existiert wenn

[math] det[\mathbf{K}-\mathbf{M}\,\lambda]=0 [/math]

gilt. Aus der Berechnung des Eigenwertproblems folgen für n-Freiheitsgrade n-Eigenwerte [math] \omega_i [/math] und die zugehörigen Einvektoren [math] \mathbf{\phi}_i [/math].

Im gedämpften Fall lautet die Systemgleichung

[math] \mathbf{M}\,\ddot{\mathbf{u}}+\mathbf{D}\,\dot{\mathbf{u}}+\mathbf{K}\,\mathbf{u}=0 \quad . [/math]

In diesem Fall ist eine exakte Lösung oft nicht mehr möglich. Deshalb bedient man sich numerischer Verfahren zur Lösung. Ein solches Verfahren zum iterativen Finden von Eigenwerten und Eigenvektoren ist zum Beispiel das Block-Lanczos Verfahren.

Kontinuierliche Systeme (KOS)

Für einige einfache KOS sind analytische Lösungen für freie Schwingungen vorhanden. Beispiele hierfür sind der Euler-Biegebalken, der Timoshenko-Biegebalken und einige einfache Plattengeometrien.

Beispielsweise ein beidseitig gelenkig gelagerter Biegebalken mit der Biegesteifigkeit [math]EI[/math] und der Masse pro Längeneinheit [math]m[/math], dessen Durchbiegung [math]w(x,t)[/math] sich abhängig von Ort [math]x[/math] und Zeit [math]t[/math] aus folgender Differentialgleichung ergibt:

[math]EI\,\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} = 0[/math]

Die beidseitig gelenkige Lagerung wird durch ein ganzes Vielfaches an Halbwellen erfüllt:

[math]w(x,t) = \sin\left(\frac{j\pi x}{L}\right) \sin(\omega t)[/math]

was die ungedämpften Eigenkreisfrequenzen ergibt:

[math]\omega_j = \sqrt{\frac{EI}{m} \left(\frac{j\pi}{L}\right)^4} \quad;\quad j=1,2,3,\ldots[/math]

Ähnlich verhält es sich bei einer schwingenden Luftsäule. Dem „festen“ Ende einer Welle entspricht das offene Ende einer Luftsäule in einem Rohr, weil dort der Luftdruck konstant ist. Umgekehrt entspricht das „freie“ Ende einer Welle dem druckfesten Abschluss einer schwingenden Luftsäule.

Beispiele

  • Eine Glocke, die angeschlagen wird, schwingt anschließend mit den Eigenfrequenzen. Durch Dämpfung klingt die Schwingung über die Zeit ab. Dabei werden höhere Frequenzen schneller abgedämpft als tiefere.
  • Eine Stimmgabel ist so konstruiert, dass außer der tiefsten Eigenfrequenz (Kammerton a, 440 Hz) kaum weitere Eigenschwingungen angeregt werden.
  • Auch in Gebäuden können Eigenfrequenzen angeregt werden. Wenn beim Nachbarn Musik durchaus sehr leise läuft, kann es vorkommen, dass die Bässe mit einer Eigenfrequenz des Gebäudes gleichfrequent sind, was sich als lautes Wummern äußert, ohne dass die Musik als solche hörbar wäre.
  • Trommeln zeigen eine Vielfalt von möglichen Eigenfrequenzen.
  • Membranen von Lautsprechern. Die Partialschwingungen führen zu einer unerwünschten Beeinträchtigung der Wiedergabequalität.

Literatur

  • R. Gasch, K. Knothe, R. Liebich: Strukturdynamik : Diskrete Systeme und Kontinua. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2012, ISBN 978-3-540-88976-2.
  • Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2006, ISBN 3-540-25421-8.
  • Hans-Ulrich Harten: Physik für Mediziner. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1993, ISBN 3-540-56759-3.

Weblinks


Kategorien: Schwingung

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