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Drehimpuls


Physikalische Größe
Name Drehimpuls
Formelzeichen der Größe [math]\vec L ,\ J[/math]
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI kg·m2·s−1 M·L2·T−1
Siehe auch: Impuls

Der Drehimpuls oder Drall, veraltet auch Schwung oder Impulsmoment, ist eine physikalische Erhaltungsgröße, die den mechanischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert. Der Drehimpuls nimmt damit eine ähnliche Stellung wie die Energie oder der Impuls ein. Der Drehimpuls eines Körpers ist umso größer, je schneller er sich dreht und je größer sein Massenträgheitsmoment ist. Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auf den Körper einwirken. Die international verwendete Einheit für den Drehimpuls ist Newtonmetersekunde oder Joulesekunde.

Der Drehimpuls ist ein Pseudovektor. Seine Angabe bezieht sich immer auf einen vorgewählten Bezugspunkt im Raum. Bei einem frei rotierenden Körper wird dafür oft der Koordinatenursprung oder der Massenmittelpunkt genommen. Bei einem Körper, der sich um eine vorgegebene Achse dreht, wird meist ein Punkt auf der Achse gewählt, oftmals ohne dass dies ausdrücklich erwähnt wird.

An Quantenobjekten zeigt sich, dass der Drehimpuls eine quantisierte Größe ist. Sie wird in der Quantenmechanik durch den Drehimpulsoperator beschrieben. Der Betrag des Drehimpulses ist stets ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches (Drehimpulsquantenzahl) des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums. Die Messung der Ausrichtung des Drehimpulses längs einer Achse unterliegt der Richtungsquantelung. Der Drehimpuls tritt bei Quantenobjekten in zwei Formen auf: Der aus der klassischen Mechanik von Dreh- und Kreisbewegung abgeleitete Drehimpuls heißt Bahndrehimpuls; daneben existiert der nicht mit Drehbewegungen verbundene Spindrehimpuls.

In der Astronomie unterscheidet man bei einem Himmelskörper den Bahndrehimpuls aufgrund einer Bewegung seines Massenmittelpunkts um ein Zentralgestirn von seinem Eigendrehimpuls aufgrund einer Drehung um eine durch seinen Massenmittelpunkt verlaufende Achse.

Die Erkenntnis, dass der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist, geht auf Leonhard Euler zurück, der 1754 seinen Drehimpulssatz formulierte.

Grundlagen

Bei einer Kreisbewegung kann man sich den Drehimpuls in Bezug auf das Zentrum des Kreises als Pfeil vorstellen, dessen Richtung die Drehachse der Bewegung und dessen Länge den Schwung der Drehung angibt. Je länger der Pfeil, desto größer ist der Drehimpuls. Der Drehimpuls wächst mit

Bei einer Kreisbewegung steht der Drehimpuls senkrecht auf der Ebene, in der sich die Masse bewegt, sofern sich der Bezugspunkt des Drehimpulses ebenfalls in dieser Ebene befindet. Sein Betrag ist gleich dem Produkt aus Masse, Radius und Geschwindigkeit.

In mathematischer Beschreibung ist der Drehimpuls [math]\vec{L}_c[/math] eines Massepunkts am Ort [math]\vec{r}[/math] das Kreuzprodukt seines Abstandsvektors vom Bezugspunkt [math]\vec c[/math] mit seinem Impuls [math]\vec{p}[/math]:

[math]\vec{L}_c = (\vec{r}-\vec{c})\times\vec{p}[/math]

Der Drehimpulsvektor zeigt in die Richtung, die mit dem Abstandsvektor und der Geschwindigkeit eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Es gilt die Rechte-Hand-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses, siehe Bild. Dass die rechte und nicht die linke Hand für diese Regel verwendet werden muss, hängt mit der Definition des Kreuzprodukts zusammen.

Auch wenn die Bezeichnung anderes vermuten lässt, ist der Drehimpuls nicht auf sich drehende Körper beschränkt: Auch ein geradlinig bewegter, nicht um sich selbst rotierender Körper besitzt im Allgemeinen einen Drehimpuls, nämlich dann, wenn der Bezugspunkt für den Drehimpuls nicht in der Bewegungsrichtung des Massenmittelpunkts des Körpers liegt, mathematisch wenn [math](\vec{r}-\vec{c})\not\parallel\vec{p}[/math]. Es lässt sich jedoch stets ein Bezugssystem finden, in dem der Bahndrehimpuls Null ist, und zwar, indem man den Massenmittelpunkt als Koordinatenursprung wählt. Der Drehimpuls eines rotierenden Körpers verschwindet hingegen in keinem Inertialsystem.

Drehimpulserhaltung

Aus der Tatsache, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung im Raum abhängen, folgt, dass der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist (das besagt das Noether-Theorem). Anders ausgedrückt: Der Drehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt nach Betrag und Richtung unverändert, egal welche Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems wirken. Dies wird als Drehimpulserhaltung bezeichnet. Fast perfekt isolierte Systeme sind die Atomkerne, die Moleküle in verdünnten Gasen und astronomische Objekte im Weltall. Ein Planet bewegt sich auf seiner Bahn umso schneller, je näher er der Sonne ist. Dies folgt aus der Drehimpulserhaltung und wird durch das zweite Keplersche Gesetz ausgedrückt.

Die Drehimpulserhaltung gilt auch in Anwesenheit äußerer Kräfte, wenn der Bezugspunkt so gewählt ist, dass die Kräfte kein Drehmoment auf das System ausüben. Sind die äußeren Kräfte auf verschiedene Teile eines Systems parallel zueinander, bleibt die dazu parallele Komponente des Drehimpulsvektors erhalten. Die Drehimpulserhaltung spielt bei vielen Vorgängen im Alltag eine Rolle, z. B. beim Fahrradfahren. Im Eiskunstlauf und anderen sportlichen Disziplinen führt sie zum Pirouetteneffekt, siehe Animation rechts.

Verschiebung, Drehung, Spiegelung

Betrag und Richtung des Drehimpulses einer Punktmasse hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts ändert sich der Vektor jedes Ortes in [math]\vec{x}^{\,\prime} =\vec{x} +\vec a[/math] und der Drehimpuls in

[math]\vec L^\prime =\vec L +\vec a\times\vec{p}\,.[/math]

Oft wählt man als Bezugspunkt den Massenmittelpunkt oder einen Punkt, der bei den betrachteten Drehungen ruht, also auf der Drehachse liegt.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.

Bei einer Punktspiegelung am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel, sodass sich bei einer Punktspiegelung der Drehimpuls nicht ändert. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit oder des Ortsvektors: der Drehimpuls gehört zur Klasse der Pseudovektoren.

Eulerscher Drehimpulssatz

Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft wirken. Genauer gesagt ist die zeitliche Änderung des Impulses die Kraft:

[math]\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d} t} =\vec{F}[/math]

Ganz analog formulierte 1754 Leonhard Euler den Eulerschen Drehimpulssatz, nach dem die zeitliche Änderung des Drehimpulses bezüglich eines Punktes c gleich dem des angreifenden Drehmoments um c ist:

[math]\frac{\mathrm{d}\vec{L}_c}{\mathrm{d} t} =\vec{M}_c[/math]

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auftreten. Ein Drehmoment ist das Kreuzprodukt von Abstandsvektor [math]\vec{r}[/math] (Hebelarm) und Kraft:

[math]\vec{M} =\vec{r}\times\vec{F}[/math]

Der Drehimpulssatz ergibt sich, wenn man den Drehimpuls nach der Zeit ableitet, beispielsweise bei einer Punktmasse am Ort [math]\vec x[/math]:

[math] \frac{\mathrm{d}\vec{L}_c}{\mathrm{d} t} =\dot{\vec{L}}_c =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [(\vec{x}-\vec{c})\times\vec{p}] =\underline{\dot{\vec{x}}\times\vec{p}} + (\vec{x}-\vec{c})\times \dot{\vec{p}} = (\vec{x}-\vec{c})\times\vec{F} =\vec{M}_c [/math]

Da die Geschwindigkeit und der Impuls parallel sind, entfällt ihr Kreuzprodukt im unterstrichenen Term. Um den (Bahn-) Drehimpuls einer Punktmasse zu verändern, bedarf es also eines Moments [math]\vec{M}_c[/math], das dem Moment der an der Punktmasse angreifenden Kraft [math]\vec F[/math] entspricht. (Bei einem ausgedehnten Körper vermag auch ein Kräftepaar mit resultierender Kraft [math]\vec F=\vec 0[/math] eine Änderung des Drehimpulses auszulösen, was den Eigendrehimpuls betrifft, siehe unten. Der Eigendrehimpuls entfällt freilich bei einer Punktmasse.)

Handelt es sich bei der Kraft um eine Zentralkraft [math]\vec F=f\tfrac{\vec{x}}{|\vec{x}|}[/math], so bleibt der Drehimpuls um das Zentrum erhalten, denn die zeitliche Änderung des Drehimpulses – das angreifende Moment der Zentralkraft – verschwindet:

[math]\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d} t} =\vec{x}\times\left( f\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}\right) =\frac{f}{|\vec{x}|}\underbrace{\vec{x}\times\vec{x}}_{=\vec0} =\vec0[/math]

Folglich ist der Drehimpuls um das Zentrum über die Zeit konstant. Dies betrifft insbesondere Planetenbewegungen um ein Zentralgestirn.

Ebene Bahn, Flächensatz

Behält der Drehimpuls einer Punktmasse (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn der Punktmasse in einer Ebene.

Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten [math]t[/math] gilt für den Drehimpuls bezüglich des Koordinatenursprungs

[math]\vec{x}(t)\cdot\vec L(t) =\vec{x}(t)\cdot\bigl(\vec{x}(t)\times m\vec{v}(t)\bigr)=0\,,[/math]

wenn m die Masse und [math]\vec{v}[/math] die Bahngeschwindigkeit der Punktmasse sind. Wenn nun der Drehimpuls zeitunabhängig ist, [math]\vec L(t) =\vec L(0),[/math] dann erfüllt jeder Bahnpunkt die Ebenengleichung

[math]\vec{x}(t)\cdot\vec L(0) = 0.[/math]

Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Massenmittelpunkt des Systems senkrecht zum Drehimpuls.

Dann gilt das zweite Keplersche Gesetz: Der Fahrstrahl zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Denn in einer kurzen Zeit [math]\mathrm{d} t[/math] ändert sich der Fahrstrahl [math]\vec{x}[/math] um [math]\vec{v}\mathrm{d} t[/math] und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Das Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Inhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts gegeben ist. In der Zeit [math]\mathrm{d} t[/math] überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche

[math]\mathrm{d} F =\frac{1}{2}\left |\vec{x}(t)\times\vec{v}(t)\,\right |\,\mathrm{d} t =\frac{1}{2\,m}\bigl |\vec L\bigr |\mathrm{d} t.[/math]

Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich die Flächengeschwindigkeit konstant.

Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie [math]E[/math] erhalten ist. Denn in relativistischer Physik ist

[math]\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d} t} =\frac{\vec{p}}{E}\,c^2[/math]

und

[math]\mathrm{d} F =\frac{c^2}{2\,E}\bigl |\vec L\bigr |\mathrm{d} t.[/math]

Für ebene Bahnen gibt es einen Zusammenhang zwischen Drehimpuls [math]\vec L[/math] und Winkelgeschwindigkeit [math]\vec\omega[/math], der für den Runge-Lenz-Vektor relevant ist:

[math]\vec L = m r^2\vec\omega[/math]

Zum Beweis zerlegt man die Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente (siehe Polarkoordinaten/Geschwindigkeit), [math]\dot{\vec r} =\dot r\vec{e}_r + r\dot\varphi\vec{e}_\varphi[/math]. Im Kreuzprodukt mit [math]\vec r = r\vec{e}_r[/math] fällt die Radialgeschwindigkeit weg, und man erhält

[math] \vec L = m\vec r\times\dot{\vec r} = m r^2\dot\varphi\,\vec{e}_r\times\vec{e}_\varphi = m r^2\dot\varphi\vec{e}_z = m r^2\vec\omega. [/math]

Der Drehimpuls eines starren Körpers

Bei einem starren Körper (zum Beispiel Spielzeugkreisel, Autorad, Schwungrad) bezieht man den Drehimpuls meist auf den Massenmittelpunkt des Körpers und nennt ihn dann auch Eigendrehimpuls. Dieser wird durch die Winkelgeschwindigkeit [math]\vec{\omega}[/math] und den Trägheitstensor [math]\mathbf{\Theta}[/math] des Körpers in seinem Massenmittelpunkt s bestimmt:

[math]\vec{L}_s =\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec\omega[/math]

Im Allgemeinen zeigen [math]\vec\omega[/math] und [math]\vec{L}_s[/math] nicht in die gleiche Richtung – ein rotierender Körper „eiert“, wenn er sich frei bewegen kann, oder zeigt Unwucht, wenn die Richtung der Achse festgehalten wird. Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen des Körpers sind [math]\vec\omega[/math] und [math]\vec{L}_s[/math] parallel, sodass die Erhaltung des Drehimpulses auch gleichbleibende Richtung der Drehachse und damit die Konstanz des Trägheitsmoments bewirkt. Der Trägheitstensor ist symmetrisch und deshalb sind die Hauptträgheitsachsen paarweise orthogonal oder orthogonalisierbar. Aus dem Trägheitstensor kann man zu jeder beliebigen Drehachse das Trägheitsmoment und die Hauptträgheitsachsen durch Lösung des Eigenwertproblems berechnen.

Der Trägheitstensor hat für die Drehbewegung vergleichbare Bedeutung wie die Masse für die Translationsbewegung (siehe Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung). Allerdings sind die Verhältnisse bei einer Rotation wesentlich komplizierter als bei einer Translation und das hat folgende Gründe:

  1. Es gibt keine Koordinaten, deren Ableitungen direkt Geschwindigkeiten darstellen, wie bei den Translationen. Drehungen sind Pseudovektoren, deren Reihenfolge bei der komponentenweisen Addition nicht wie bei polaren Vektoren vertauscht werden darf.
  2. Wie bereits erläutert, sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit zumeist nicht parallel, weswegen ihr „Proportionalitätsfaktor“ durch einen Tensor – den Trägheitstensor – dargestellt werden muss.
  3. Der Trägheitstensor hängt im Allgemeinen von der Ausrichtung des Körpers ab, die sich bei einer Drehung natürlich laufend ändert. So wird der Trägheitstensor eine Funktion der Zeit, während bei Translationen die Masse konstant ist.

Berechnung des Drehimpulses eines Körpers aus seinen Massepunkten

Der Drehimpuls eines starren Körpers ist die Summe der Drehimpulse der Massepunkte, aus denen er besteht. Seien [math]m_1, m_2, m_3, \dots[/math] die Massen der einzelnen Massepunkte, [math]\vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3, \dots[/math] die Orte, an denen sie sich befinden, und [math]\dot{\vec{x}}_1, \dot{\vec{x}}_2, \dot{\vec{x}}_3, \dots[/math] ihre Geschwindigkeiten. Der Drehimpuls des Körpers bezüglich des Bezugspunkts [math]\vec c[/math] ist dann insgesamt

[math]\vec{L}_c =\sum_i m_i\,(\vec{x}_i-\vec{c})\times\dot{\vec{x}}_i.[/math]

Dabei ist über alle Massepunkte zu summieren, aus denen der Körper besteht. Die Geschwindigkeit der einzelnen Massepunkte ergibt sich aus der eulerschen Geschwindigkeitsgleichung [math]\dot{\vec{x}}_i =\dot{\vec{s}}+\vec{\omega}\times (\vec{x}_i-\vec{s})[/math] mit dem Massenmittelpunkt

[math]\vec{s}:=\frac{1}{m}\sum_i m_i\,\vec{x}_i \quad\text{und der Gesamtmasse}\quad m=\sum_i m_i .[/math]

Die Geschwindigkeitsgleichung im Drehimpuls eingesetzt liefert

[math]\begin{align} \vec{L}_c =&\sum_i m_i\,(\vec{x}_i-\vec{c})\times[\dot{\vec{s}}+\vec{\omega}\times (\vec{x}_i-\vec{s})] \\ =&\sum_i m_i\,(\vec{x}_i-\vec{c})\times\dot{\vec{s}} +\sum_i m_i\,(\vec{x}_i-\vec{c})\times[\vec{\omega}\times (\vec{x}_i-\vec{s})] .\end{align}[/math]

Der erste Term entspricht dem Bahndrehimpuls des Körpers mit Impuls [math]\vec p=m\dot{\vec{s}}[/math]:

[math]\sum_i m_i\,(\vec{x}_i-\vec{c})\times\dot{\vec{s}} =(m\vec{s}-m\vec{c})\times\dot{\vec{s}} =(\vec{s}-\vec{c})\times m\dot{\vec{s}} =(\vec{s}-\vec{c})\times\vec{p} [/math]

Das doppelte Kreuzprodukt im zweiten Term ergibt sich nach Addition des Nullvektors [math]-\vec{s}+\vec{s}[/math] mit der BAC-CAB-Formel unter Ausnutzung der Eigenschaften des dyadischen Produkts[math]\otimes[/math]“ zu

[math]\begin{align} \sum_i m_i\,(\vec{x}_i-\vec{c})\times[\vec{\omega}\times (\vec{x}_i-\vec{s})] =& \sum_i m_i\,(\vec{x}_i-\vec{s}+\underline{\vec{s}-\vec{c}})\times[\vec{\omega}\times (\vec{x}_i-\vec{s})] \\=& \sum_i m_i\,[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\vec{\omega}-(\vec{r}_i\cdot\vec{\omega})\vec{r}_i] \\=& \sum_i m_i\,[(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)\mathbf{1}-\vec{r}_i\otimes\vec{r}_i]\cdot\vec{\omega} \\=:& \mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega} .\end{align}[/math]

Der unterstrichene Term trägt zur Summe nichts bei, [math]\vec{r}_i:=\vec{x}_i-\vec{s}[/math] ist der Abstandsvektor des i-ten Massepunkts vom Massenmittelpunkt des Körpers und 1 ist der Einheitstensor. Der Trägheitstensor [math]\mathbf{\Theta}_s[/math] ist von der aktuellen Position der Massepunkte abhängig und deshalb im ruhenden Bezugssystem zumeist nicht konstant. In einem kartesischen Koordinatensystem seien [math](x_i\;y_i\;z_i):=\vec{r}_i=\vec{x}_i-\vec{s}[/math] die Komponenten des Abstandsvektors. Damit schreibt sich die Matrixrepräsentation des Trägheitstensors wie folgt:

[math]\mathbf{\Theta}_s =\sum_{i} m_{i}\, \begin{pmatrix} y_i^2+z_i^2 & -x_i\, y_i & -x_i\, z_i\\ -y_i\, x_i & x_i^2+z_i^2 & -y_i\, z_i\\ -z_i\, x_i & - z_i\, y_i & x_i^2+y_i^2\\ \end{pmatrix} [/math]

Mit den angegebenen Ergebnissen lautet der Drehimpuls des Körpers:

[math]\vec{L}_c=(\vec{s}-\vec{c})\times\vec{p}+\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega}[/math]

Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung ist der Bahndrehimpuls und der zweite Term der Eigendrehimpuls des Körpers. Wird der Massenmittelpunkt als Bezugspunkt gewählt [math](\vec{c}=\vec{s})[/math], reduziert sich das auf

[math]\vec{L}_s=\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega}.[/math]

Berechnung des Drehimpulses eines starren Körpers als Kontinuum

Im Kontinuum ergibt sich der Massenmittelpunkt [math]\vec s[/math] und die Masse m des Körpers aus seiner Dichte ρ als Integral über sein Volumen [math]v[/math] zu

[math]\vec{s}:=\frac{1}{m}\int_v\vec{x}\,\rho\mathrm{d}v \quad\text{mit}\quad m:=\int_v\rho\mathrm{d}v.[/math]

Der Ortsvektor [math]\vec{x}[/math] ist die Integrationsvariable.

Der Drehimpuls eines starren Körpers bezüglich eines Punktes [math]\vec c[/math] wird ebenfalls aus einem Integral berechnet und es ergibt sich analog zum vorherigen Abschnitt:

[math]\begin{align} \vec{L}_c:=&\int_v (\vec{x}-\vec{c})\times\vec{v}\,\rho\mathrm{d}v \\=& \int_v (\vec{x}-\vec{c})\times[\dot{\vec{s}} +\vec{\omega}\times(\vec{x}-\vec{s})]\,\rho\mathrm{d}v \\=& \int_v (\vec{x}-\vec{c})\times\dot{\vec{s}}\,\rho\mathrm{d}v +\int_v (\vec{x}-\vec{s}+\underline{\vec{s}-\vec{c}})\times[\vec{\omega}\times(\vec{x}-\vec{s})]\,\rho\mathrm{d}v \\=& (m\vec{s}-m\vec{c})\times\dot{\vec{s}}+\int_v \vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\,\rho\mathrm{d}v \\=& (\vec{s}-\vec{c})\times m\dot{\vec{s}} +\int_v [(\vec{r}\cdot\vec{r})\vec{\omega}-(\vec{r}\cdot\vec{\omega})\vec{r}]\,\rho\mathrm{d}v \\=& (\vec{s}-\vec{c})\times\vec{p} +\int_v [(\vec{r}\cdot\vec{r})\mathbf{1}-\vec{r}\otimes\vec{r}]\,\rho\mathrm{d}v\cdot\vec{\omega} \\=& (\vec{s}-\vec{c})\times\vec{p}+\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega} \end{align}[/math]

Der unterstrichene Term trägt zur Summe nichts bei und [math]\vec{r}=\vec{x}-\vec{s}[/math] ist der Abstandsvektor zum Massenmittelpunkt. Der Trägheitstensor

[math]\mathbf{\Theta}_s:=\int_v \{[(\vec{x}-\vec{s})\cdot(\vec{x}-\vec{s})]\mathbf{1} -(\vec{x}-\vec{s})\otimes(\vec{x}-\vec{s})\}\,\rho\mathrm{d}v[/math]

ist vom aktuell eingenommenen Raumgebiet [math]v[/math] abhängig und deshalb im ruhenden System zumeist nicht konstant.

Drehimpulsbilanz am starren Körper

Auswertung der Drehimpulsbilanz bezüglich eines beliebigen, aber raumfesten Punktes [math]\vec c[/math] im Spezialfall einer Starrkörperbewegung führt auf:

[math]\begin{align} \dot{\vec{L}}_c =& \underline{\dot{\vec{s}}\times\vec{p}} +(\vec{s}-\vec{c})\times\dot{\vec{p}} +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega}) \\=& (\vec{s}-\vec{c})\times\dot{\vec{p}} +\mathbf{\Theta}_s\cdot\dot{\vec{\omega}} +\vec{\omega}\times\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega} = \vec{M}_c \end{align}[/math]

Der unterstrichene Term entfällt, weil die Schwerpunktsgeschwindigkeit parallel zum Impuls ist, [math]\vec{M}_c[/math] ist das von außen angreifende, resultierende Moment um den Punkt [math]\vec c[/math] und [math]\dot{\vec{p}}[/math] ist die Impulsänderung, die nach dem Impulssatz gleich der von außen angreifenden resultierenden Kraft [math]\vec{F}[/math] ist. Der Vektor [math](\vec{s}-\vec{c})\times\dot{\vec{p}}[/math] ist die Änderung des Bahndrehimpulses und die restlichen Terme stehen für die Änderung des Eigendrehimpulses des Körpers. Der Nachweis der Identität [math]\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega})=\mathbf{\Theta}_s\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega}[/math] wird weiter unten geführt.

Wieder entfällt der Beitrag des Bahndrehimpulses, wenn der Massenmittelpunkt als Bezugspunkt gewählt wird [math](\vec{c}=\vec{s})[/math]:

[math] \dot{\vec{L}}_s =\mathbf{\Theta}_s\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega} =\mathbf{\Theta}_s\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\vec{L}_s =\vec{M}_s [/math]

Diese Differentialgleichung für [math]\vec{\omega}[/math] gilt als Vektorgleichung in jedem beliebigen Koordinatensystem, aber nur in einem körperfesten sind die Komponenten des Trägheitstensors zeitlich konstant. Bezüglich einer Orthonormalbasis [math]\hat{e}_{1,2,3}[/math] lauten die Komponentengleichungen:

[math]\begin{align} M_1 =& \Theta_{11} \dot{\omega}_1 +\Theta_{12} \dot{\omega}_2 +\Theta_{13} \dot{\omega}_3 +(\Theta_{33}-\Theta_{22}) \omega_2 \omega_3 +\Theta_{23}(\omega_2^2-\omega_3^2) +\Theta_{13} \omega_1 \omega_2 -\Theta_{12} \omega_3 \omega_1 \\ M_2 =& \Theta_{12} \dot{\omega}_1 +\Theta_{22} \dot{\omega}_2 +\Theta_{23} \dot{\omega}_3 +(\Theta_{11}-\Theta_{33}) \omega_3 \omega_1 +\Theta_{13}(\omega_3^2-\omega_1^2) +\Theta_{12} \omega_2 \omega_3 -\Theta_{23} \omega_1 \omega_2 \\ M_3 =& \Theta_{13} \dot{\omega}_1 +\Theta_{23} \dot{\omega}_2 +\Theta_{33} \dot{\omega}_3 +(\Theta_{22}-\Theta_{11}) \omega_1 \omega_2 +\Theta_{12}(\omega_1^2-\omega_2^2) +\Theta_{23} \omega_3 \omega_1 -\Theta_{13} \omega_2 \omega_3 \end{align}[/math]

Wird ein körperfestes Koordinatensystem gewählt, dessen Achsen mit den Hauptträgheitsachsen des Körpers zusammenfallen, dann gibt es keine Deviationsmomente und es ergeben sich die eulerschen Kreiselgleichungen:

[math]\begin{align} M_1=&\Theta_1 \dot{\omega}_1+(\Theta_3-\Theta_2) \omega_2 \omega_3 \\ M_2=&\Theta_2 \dot{\omega}_2+(\Theta_1-\Theta_3) \omega_3 \omega_1 \\ M_3=&\Theta_3 \dot{\omega}_3+(\Theta_2-\Theta_1) \omega_1 \omega_2 \end{align}[/math]

Die Diagonalglieder des Trägheitstensors – die Hauptträgheitsmomente Θ1,2,3 – sind hier wie üblich nur einfach indiziert.

Zum Nachweis von

[math]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{\Theta}\cdot\vec{\omega}) =\mathbf{\Theta}\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\mathbf{\Theta}\cdot\vec{\omega}[/math]

wird ein körperfestes Koordinatensystem mit Orthonormalbasis [math]\hat{g}_{1,2,3}[/math] definiert, sodass die Komponenten Θij des Trägheitstensors [math]\mathbf{\Theta}=\Theta_{ij}\hat{g}_i\otimes\hat{g}_j[/math] bezüglich dieses Basissystems zeitunabhängig sind. Hier wie im Folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über in einer Summe doppelt vorkommende Indizes – hier i und j – von eins bis drei zu summieren ist. Durch die weitere Starrkörperbewegung drehen sich die Basisvektoren [math]\hat{g}_{1,2,3}[/math] mit dem Körper. Die Winkelgeschwindigkeit dient der Berechnung der Zeitableitung der Basisvektoren entsprechend [math]\dot{\hat{g}}_i=\vec{\omega}\times\hat{g}_i[/math] und wird gemäß [math]\vec{\omega}=\omega_k\hat{g}_k[/math] ebenfalls mit dem körperfesten System ausgedrückt. Die Zeitableitung von

[math] \mathbf{\Theta}\cdot\vec{\omega} = \Theta_{ij}\hat{g}_i\otimes\hat{g}_j\cdot\omega_k\hat{g}_k = \Theta_{ij}\omega_j\hat{g}_i [/math]

liefert mit diesen Vereinbarungen:

[math]\begin{array}{lclcl} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{\Theta}\cdot\vec{\omega}) &=& \Theta_{ij}\dot{\omega}_j\hat{g}_i &+& \Theta_{ij}\omega_j\dot{\hat{g}}_i \\&=& \Theta_{ij}\hat{g}_i\otimes\hat{g}_j\cdot\dot{\omega}_k\hat{g}_k &+& \vec{\omega}\times\Theta_{ij}\omega_j\hat{g}_i \\&=& \mathbf{\Theta}\cdot\dot{\vec{\omega}} &+& \vec{\omega}\times\mathbf{\Theta}\cdot\vec{\omega} \end{array}[/math]

Denn die Winkelbeschleunigung ist [math]\dot{\vec{\omega}}=\dot{\omega}_k\hat{g}_k+\omega_k\dot{\hat{g}}_k=\dot{\omega}_k\hat{g}_k [/math], weil der Vektor [math]\omega_k\dot{\hat{g}}_k=\vec{\omega}\times\omega_k\hat{g}_k=\vec{\omega}\times\vec{\omega}=\vec0[/math] nichts beiträgt.

Ebene Bewegungen und Drehimpulssatz um den Momentanpol

Bei einer ebenen Bewegung, beispielsweise in der 1-2-Ebene, reduzieren sich die Kompentengleichungen auf

[math]\begin{align} M_3 =& \Theta_{33} \ddot{\varphi} \\ M_1 =& \Theta_{13} \ddot{\varphi}-\Theta_{23} \dot{\varphi}^2 =\left(\frac{\Theta_{13}}{\Theta_{33}}+\frac{\Theta_{23}^2}{\Theta_{13}\Theta_{33}}\right)M_3 -\frac{\Theta_{23}}{\Theta_{13}}M_2 \\ M_2 =& \Theta_{23} \ddot{\varphi}+\Theta_{13} \dot{\varphi}^2 =\left(\frac{\Theta_{23}}{\Theta_{33}}+\frac{\Theta^2_{13}}{\Theta_{23}\Theta_{33}}\right) M_3 -\frac{\Theta_{13}}{\Theta_{23}}M_1 ,\end{align}[/math]

wenn φ der Drehwinkel um die 3-Achse ist. Nach wie vor sind die Trägheitsmomente Θij in einem nicht körperfesten Bezugssystem von der Orientierung und damit vom Drehwinkel φ abhängig. Die letzten beiden Gleichungen dienen zumeist dazu, die Reaktionsmomente in 1- und 2-Richtung für den Zwanglauf in der 1-2-Ebene zu ermitteln. Wenn die 3-Richtung eine Hauptachse ist, dann ergibt sich ohne solche Reaktionsmomente besonders einfach:

[math]M_3=\Theta_3\ddot{\varphi}[/math]

Bei einer ebenen Starrkörperbewegung mit vorhandener Drehbewegung existiert immer ein Momentanpol genannter Raumpunkt [math]\vec m[/math], in dem erstens ein dort befindliches Partikel des Starrkörpers stillsteht und sich zweitens die Bewegung als reine Drehbewegung um diesen Punkt darstellt. Somit lautet das Geschwindigkeitsfeld

[math]\vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\varphi}(t)\hat{e}_3\times(\vec{x}-\vec{m}(t))\,,[/math]

wenn [math]\hat{e}_3[/math] senkrecht zur Bewegungsebene ist. Bezüglich des Momentanpols hat der Drehimpulssatz, wenn die 3-Richtung eine Hauptachse ist, eine ähnliche Form wie bezüglich des Massenmittelpunkts:

[math]M_{m3}=\Theta_{m3}\ddot{\varphi}\,,[/math]

wobei nun das Moment und das Massenträgheitsmoment bezüglich des Momentanpols berechnet wird.

Um das nachzuweisen, wird der Drehimpuls des starren Körpers als Integral berechnet:

[math]\begin{align} \vec{L}_c:=&\int_v (\vec{x}-\vec{c})\times\vec{v}\,\rho\mathrm{d}v \\=& \int_a (\vec{x}-\vec{m}+\vec{m}-\vec{c})\times[\dot{\varphi}\hat{e}_3\times(\vec{x}-\vec{m})]\,\rho\mathrm{d}v \\=& \int_a (\vec{x}-\vec{m})\times[\dot{\varphi}\hat{e}_3\times(\vec{x}-\vec{m})]\,\rho\mathrm{d}v +(\vec{m}-\vec{c})\times[\dot{\varphi}\hat{e}_3\times\int_v(\vec{x}-\vec{m})\,\rho\mathrm{d}v] \\=& \int_v[\vec{r}\times(\dot{\varphi}\hat{e}_3\times\vec{r})\,\rho\mathrm{d}v +(\vec{m}-\vec{c})\times[\dot{\varphi}\hat{e}_3\times(m\vec{s}-m\vec{m})] \\=& \mathbf{\Theta}_m\cdot\dot{\varphi}\hat{e}_3+m(\vec{m}-\vec{c})\times\vec{v}_s \end{align}[/math]

Der Vektor [math]\vec{r}=\vec{x}-\vec{m}[/math] ist der Abstandsvektor zum Momentanpol und [math]\vec{v}_s=\dot{\varphi}\hat{e}_3\times(\vec{s}-\vec{m})[/math] ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts. Wenn der Momentanpol als Bezugspunkt gewählt wird [math](\vec{c}=\vec{m})[/math], dann entfällt der zweite Summand:

[math]\vec{L}_m:=\mathbf{\Theta}_m\cdot\dot{\varphi}\hat{e}_3\,.[/math]

Der Trägheitstensor bezüglich des Momentanpols

[math]\mathbf{\Theta}_m:=\int_v \{[(\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{x}-\vec{m})]\mathbf{1} -(\vec{x}-\vec{m})\otimes(\vec{x}-\vec{m})\}\,\rho\mathrm{d}v[/math]

ist vom aktuell eingenommenen Raumgebiet [math]v[/math] abhängig und deshalb zumeist nicht konstant.

Zeitableitung des Drehimpulses liefert mit [math]\vec{v}(\vec{m}, t)=\vec0[/math]:

[math]\begin{align} \dot{\vec{L}}_c =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{\Theta}_m\cdot\dot{\varphi}\hat{e}_3) +m(\vec{m}-\vec{c})\times\dot{\vec{v}}_s \\=& \mathbf{\Theta}_m\cdot\ddot{\varphi}\hat{e}_3 +\dot{\varphi}\hat{e}_3\times\mathbf{\Theta}_m\cdot\dot{\varphi}\hat{e}_3 +m(\vec{m}-\vec{c})\times\dot{\vec{v}}_s =\vec{M}_c \end{align}[/math]

Wenn der Momentanpol als Bezugspunkt gewählt wird [math](\vec{c}=\vec{m})[/math], dann entfällt der letzte Summand, und wenn eine Hauptachse des Körpers parallel zur Winkelgeschwindigkeit ist, also senkrecht zur Bewegungsebene ist, dann entfällt der zweite Summand. Wenn beides zutrifft, hat die Vektorgleichung nur noch eine nichtriviale Komponente [math]M_{m3}=\Theta_{m3}\ddot{\varphi}\,.[/math]

Trägheitskräfte im körperfesten, beschleunigten Bezugssystem

Die Impulsbilanz um den Schwerpunkt in einem körperfesten, beschleunigten Bezugssystem gestattet eine Interpretation der Drehimpulsbilanz mit Trägheitskräften (oder Scheinkräften), denn diese müssen in einem drehenden Bezugssystem bei der Auswertung der Drehimpulsbilanz berücksichtigt werden.

Betrachtet werde ein Teilchen mit Masse m und Geschwindigkeit [math]\vec v=\vec{\omega}\times\vec{r}[/math] im Abstand [math]\vec r[/math] vom Massenmittelpunkt des starren Körpers. Dann wirkt auf dieses Teilchen aus Sicht des drehenden Beobachters eine (scheinbare, nach außen gerichtete) Zentrifugalkraft

[math]\vec{Z}:=-m(\vec{\omega}\times\vec{v}) =-m[\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})] =-m[(\vec{\omega}\cdot\vec{r})\vec{\omega}-(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})\vec{r}] .[/math]

Der Zentrifugalkraft entspricht ein zusätzliches scheinbares Drehmoment

[math]\begin{align} \vec{M}_Z :=&\vec{r}\times\vec{Z} =-m\vec{r}\times[(\vec{\omega}\cdot\vec{r})\vec{\omega}-(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})\vec{r}] \\=& -\vec{\omega}\times m[(\vec{r}\cdot\vec{r})\vec{\omega}-(\vec{\omega}\cdot\vec{r})\vec{r}] =-\vec{\omega}\times m[\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})] =-\vec{\omega}\times\vec{L} \end{align}[/math]

mit dem Drehimpuls [math]\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}=m\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})[/math] des Teilchens. Das scheinbare Moment ist in der Impulsbilanz zu berücksichtigen:

[math] \dot{\vec{L}}_s =\vec{M}_s+\vec{M}_Z =\vec{M}_s-\vec{\omega}\times\vec{L}_s [/math]

Nach Summation über alle Teilchen wird [math]\vec{L}_s=\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega}[/math]. Im körperfesten, drehenden Bezugssystem ist der Trägheitstensor [math]\mathbf{\Theta}_s[/math] konstant, sodass für den Eigendrehimpuls [math]\vec{L}_s[/math] die Zeitableitung [math]\dot{\vec{L}}_s =\mathbf{\Theta}_s\cdot\dot{\vec{\omega}}[/math] folgt und somit gilt:

[math]\mathbf{\Theta}_s\cdot\dot{\vec{\omega}} =\vec{M}_s-\vec{\omega}\times\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega}[/math]

Der Term [math]\vec{\omega}\times\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec{\omega}[/math] steht also für Einflüsse von Trägheitskräften im drehenden Bezugssystem.

Drehimpulssatz bei deformierbaren Körpern

Bei einem deformierbaren Körper bewirken die von außen angreifenden Kräfte und Momente im Inneren des Körpers Spannungen, die lineare Funktionen des Spannungstensors sind. Der Drehimpulssatz reduziert sich im deformierbaren Körper auf die Forderung nach der Symmetrie des Spannungstensors, was die Aussage des zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes ist.

Beispiel

Ein punktförmiges Objekt mit der Masse m bewege sich zur Zeit t mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit [math]\dot{\varphi}=\Omega,\;\varphi=\Omega t[/math] auf einer Schraubenlinie mit Radius R um einen Punkt [math]\vec s[/math], der sich mit konstanter Translationsgeschwindigkeit [math]\vec{v}_s[/math] verschiebt, siehe Bild. Mathematisch lautet die Bewegungsfunktion:

[math]\vec{r}(t)=\vec{s}+R\hat{e}_\rho[/math]

Die Basisvektoren [math]\hat{e}_{\rho,\varphi}[/math] (schwarze Pfeile) bezeichnen wie in einem Zylinderkoordinatensystem die radiale bzw. die tangentiale Richtung. Sie sind Funktionen des Drehwinkels φ. Es gilt:

[math]\dot{\hat{e}}_\rho=\Omega\hat{e}_\varphi \quad\text{und}\quad \dot{\hat{e}}_\varphi=-\Omega\hat{e}_\rho \,.[/math]

Die Geschwindigkeit ergibt sich damit zu:

[math]\vec{v}(t) =\dot{\vec{s}}+R\dot{\hat{e}}_\rho =\vec{v}_s+\Omega R\hat{e}_\varphi \,.[/math]

Der Drehimpuls um einen festen Punkt [math]\vec c[/math] ist zumeist nicht konstant:

[math] \vec{L}_c = (\vec{r}-\vec{c})\times\vec{p} = (\vec{s}+R\hat{e}_\rho-\vec{c})\times m(\vec{v}_s+\Omega R\hat{e}_\varphi) \,.[/math]

Die Änderung des Drehimpulses wird von einem Moment bewirkt, dass sich aus der Zeitableitung ergibt:

[math]\begin{align} \dot{\vec{L}}_c =& (\vec{v}_s+R\dot{\hat{e}}_\rho)\times m(\vec{v}_s+\Omega R\hat{e}_\varphi) +(\vec{s}+R\hat{e}_\rho-\vec{c})\times m\Omega R\dot{\hat{e}}_\varphi \\=& (\vec{v}_s+\Omega R\hat{e}_\varphi)\times m(\vec{v}_s+\Omega R\hat{e}_\varphi) +(\vec{r}-\vec{c})\times (-m\Omega^2 R\hat{e}_\rho) \\=& -(\vec{r}-\vec{c})\times (m\Omega^2 R\hat{e}_\rho) = \vec{M}_c \,.\end{align}[/math]

Als Ursache dieses Moments kommt bei der Punktmasse nur eine an ihr angreifende Kraft [math]\vec{F}[/math] in Frage:

[math]\begin{align} \vec{M}_F =& (\vec{r}-\vec{c})\times\vec{F} \;\stackrel{\displaystyle !}{=}\; \vec{M}_c = -(\vec{r}-\vec{c})\times(m\Omega^2 R\hat{e}_\rho) \\ \rightarrow \vec0=&(\vec{r}-\vec{c})\times (\underline{\vec{F}+m\Omega^2 R\hat{e}_\rho}) \,,\end{align}[/math]

Weil das für jeden Bezugspunkt [math]\vec c[/math] gilt, muss der unterstrichene Vektor verschwinden und so ergibt sich

[math]\vec{F}=-m\Omega^2 R\hat{e}_\rho\,.[/math]

Diese Kraft entspricht gerade der Zentripetalkraft, die auf die Punktmasse wirken muss, damit sie im Inertialsystem, das sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit [math]\dot{\vec{s}}=\vec{v}_s[/math] bewegt, eine Kreisbewegung um [math]\vec{s}[/math] ausführt.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Commons: Drehimpuls  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Drehimpuls – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kategorien: Physikalische Größenart | Klassische Mechanik

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