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Doppelpyramide


Eine [math]n[/math]-eckige Doppelpyramide (auch Bipyramide oder Dipyramide, engl. dipyramid) ist ein Polyeder, das entsteht, indem man eine [math]n[/math]-eckige Pyramide und ihr Spiegelbild an den Grundflächen verklebt. Das [math]n[/math]-Eck, das die gemeinsame Grundfläche der beiden Pyramiden darstellt, ist keine Seitenfläche der Doppelpyramide, sondern liegt im Inneren der Doppelpyramide, in der Symmetrieebene zwischen den beiden [math]n[/math]-eckigen Pyramiden. Die Doppelpyramide hat damit [math]2[/math] Spitzen, [math]2+n[/math] Ecken und [math]3n[/math] Kanten und ihre Oberfläche besteht aus [math]2n[/math] Dreiecken.

Besondere Doppelpyramiden

Nur drei Arten von Doppelpyramiden haben die Eigenschaft, dass alle Kanten dieselbe Länge haben können (so dass alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind): die dreieckige, die viereckige und die fünfeckige Doppelpyramide. Diese spezielle viereckige Doppelpyramide, das Oktaeder, zählt zu den Platonischen Körpern, während die dreieckige und die fünfeckige Doppelpyramide zu den Johnson-Körpern zählen (J12 and J13).

Symmetrien der regelmäßigen Doppelpyramide

Von einer regelmäßigen Doppelpyramide spricht man, wenn die erzeugende Pyramide regelmäßig ist (d. h. wenn deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Gerade durch die Doppelpyramidenspitzen die Grundfläche senkrecht schneidet).

Eine regelmäßige Doppelpyramide kann auf eine solche Weise auf die Sphäre bzw. eine Kugel projiziert werden, dass ihre Spitzen auf zwei sich gegenüberliegende Punkte (die Pole) auf der Kugel abgebildet werden, das regelmäßige [math]n[/math]-Eck auf den Äquator um die Achse durch die beiden Pole und die an den Doppelpyramidenspitzen anliegenden Kanten in gleichabständige Längenkreise durch die Pole, die den Äquator jeweils senkrecht schneiden. Die Seitenflächen der Doppelpyramide werden dabei auf sphärische Dreiecke abgebildet.

Die Symmetriegruppe einer regelmäßigen Doppelpyramide ist das direkte Produkt ihrer Drehgruppe mit der zweielementigen Gruppe, die von der Spiegelung an der Ebene senkrecht zur Drehachse erzeugt wird. Die Symmetriegruppe der regelmäßigen, [math]n[/math]-eckigen Doppelpyramide ist [math]D_{nh}[/math] der Ordnung [math]4n[/math] außer im Fall des Oktaeders, dessen Symmetriegruppe die Oktaedergruppe [math]O_h[/math] der Ordnung 48 ist. Die Drehgruppe einer regelmäßigen Doppelpyramide ist die Diedergruppe [math]D_n[/math] der Ordnung [math]2n[/math] außer im Fall des Oktaeders, dessen Drehgruppe Oktaedergruppe [math]O[/math] der Ordnung 24 ist (isomorph zur symmetrischen Gruppe [math]S_4[/math] auf der Menge der Raumdiagonalen, also zur Gruppe der [math]4! = 24[/math] Permutationen der vier Raumdiagonalen).

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Die dualen Körper

Ist die Pyramide, die eine Doppelpyramide erzeugt, gerade, so spricht man von einer geraden Doppelpyramide. Der duale Körper einer geraden Doppelpyramide ist ein gerades Prisma und umgekehrt.

Volumen

Das Volumen einer Doppelpyramide ist [math]V = \tfrac{2}{3} Gh[/math], wobei [math]G[/math] die Fläche der Grundfläche der erzeugenden Pyramide bezeichnet und [math]h[/math] die Höhe einer Spitze über dieser Grundfläche. Diese Formel gilt unabhängig davon, ob es sich um eine gerade Doppelpyramide handelt oder nicht (solange die Höhe [math]h[/math] als der orthogonale Abstand einer Spitze zur Ebene, in der die Grundfläche liegt, bestimmt wird).

Das Volumen einer Doppelpyramide mit regulärem n-Eck ist mithin: [math]V = \frac{n}{6}hs^2 \cot\frac{\pi}{n}[/math], wobei [math]s[/math] die Länge der Seitenkante bezeichnet.

Weblinks

 Commons: Bipyramiden  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Polyeder

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