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Dispersion (Wasserwellen)


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Bei Wasserwellen (Oberflächenwellen) wird unter Dispersion insbesondere die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der Wellenlänge und somit der Frequenz verstanden:

  • Schwerewellen pflanzen sich umso schneller fort, je größer ihre Wellenlänge und je kleiner ihre Frequenz ist. Andererseits haben Wellen mit vorgegebener Wellenlänge über tieferem Wasser eine größere Phasengeschwindigkeit als über flacherem Wasser.
  • Dagegen breiten sich Kapillarwellen, deren Rückstellkraft allein aus der Oberflächenspannung resultiert, umso schneller aus, je kürzer sie sind.

Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Wellengruppe (d. h. das Intensitätsmaximum mehrerer sich überlagernder Wellen) fortbewegt, deren Wellenlängen sich nur wenig unterscheiden. Das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit zur Gruppengeschwindigkeit entscheidet über die Art der Dispersion.

Dispersion bei Oberflächenwellen

Für alle Wellenarten ist nach Rayleigh die Dispersion der Phasengeschwindigkeit c definiert als:

[math]\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{c - c_g}{L}[/math]

Hierin ist

  • [math]c_g[/math] die Gruppengeschwindigkeit
  • [math]L[/math] die Wellenlänge.

Je nach Vorzeichen des Differentialquotienten [math]\tfrac{\mathrm dc}{\mathrm dL}[/math] ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Entsprechend unterscheidet man normale Dispersion, anomale Dispersion und dispersionslose Wellenausbreitung. Im letztgenannten Fall ist die Phasengeschwindigkeit für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich.

dc / dL dc / df
Normale Dispersion [math]\gt0[/math] [math]\lt0[/math]
Keine Dispersion [math]=0[/math] [math]=0[/math]
Anomale Dispersion [math]\lt0[/math] [math]\gt0[/math]

Dispersion bei Schwerewellen

Abweichend von den elektromagnetischen Wellen werden bei Schwerewellen die Wellenparameter wie folgt bezeichnet.

Schwerewellen elektromagnet. Wellen
Wellenlänge in m L [math]\lambda[/math]
Wellenfrequenz in Hz f [math]\nu[/math]
Periodendauer in s [math]T =\frac{1}{f}[/math] -
Phasengeschwindigkeit in m/s [math]c = L\cdot f[/math] [math]v=\lambda\cdot\nu[/math]
Gruppengeschwindigkeit in m/s [math]c_g[/math] [math]v_g[/math]
Wassertiefe in m d -
Erdbeschleunigung in m/s² [math]g[/math] -

Die klassische Dispersionsrelation nach Airy-Laplace (1840) beschreibt die unterschiedliche Ausprägung der Dispersion in Abhängigkeit von der Wellenlänge (oder der Frequenz) und der Wassertiefe d:

[math]c = L \cdot f = \sqrt{\frac{gL}{2 \pi} \cdot \tanh \left( \frac{2 \pi d}{L} \right)} = \sqrt{\frac{g}{2 \pi f} \cdot \tanh \left( \frac{2 \pi d}{L}\right)}[/math]

mit dem Tangens Hyperbolicus.

Diese Dispersionsrelation gilt auch für Wellen nach der nichtlinearen Stokesschen Wellentheorie 2. Ordnung.

Tiefwasser

Bei der Ausbreitung über großer Wassertiefe (d ≥ 0,5 L) liegt maximale normale Dispersion vor, die Phasengeschwindigkeit ist unabhängig von der Wassertiefe:

[math]c = L \cdot f = \sqrt{\frac{g L}{2 \pi}} =\sqrt{ \frac{g}{2 \pi f}} \neq \mathrm f(d)[/math]
[math]\Rightarrow \frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \sqrt{\frac{g}{8 \pi \cdot L}} \quad \mathrm {bzw.} \quad \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = - \sqrt{\frac{g}{8 \pi f^3}}[/math]
[math]\Rightarrow c_g = \frac{1}{2} \cdot c[/math]

Begrenzte Wassertiefe

Es gilt die obige vollständige Dispersionsrelation.

Insbesondere in Bereichen, in denen die Wassertiefe geringer als die halbe Wellenlänge ist (d ≤ 0,5 L), können sich in der Natur erhebliche Abweichungen ergeben. Als Ursachen kommen u. a. in Betracht:

Bei Wellenresonanz tritt anomale Dispersion auf.

Flachwasser

Im flachen Wasser (d ≤ 0,4 L) ist die Wellenbewegung praktisch dispersionslos und nur von der Wassertiefe abhängig:

[math]c = \sqrt{g \cdot d} \neq \mathrm f(L, f)[/math]
[math]\Rightarrow \frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = 0[/math]
[math]\Rightarrow c_g = c.[/math]

Siehe auch: Wellenresonanz, Dopplereffekt

Dispersion bei Kapillarwellen

Für die Fortbewegung von Kapillarwellen gilt

[math]c = L \cdot f = \sqrt{\frac{2 \pi \sigma}{\rho L}} = \sqrt[3]{\frac{2 \pi \sigma f}{\rho}}[/math]

Darin bedeuten

Die Dispersion ist anomal:

[math]\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = - \sqrt{\frac{\pi \sigma}{2 \rho}} \cdot \frac{1}{\sqrt{L}^3} \lt 0 \quad \mathrm {bzw.} \quad \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{2 \pi \sigma}{\rho}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{f^2}} \gt 0[/math]

Kategorien: Küsteningenieurwesen | Welle

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Dispersion (Wasserwellen) (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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