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Disjunkt


Dieser Artikel behandelt disjunkte Mengen; siehe auch Disjunktion (Begriffsklärung).

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen [math]A[/math] und [math]B[/math] disjunkt (lateinisch disjunctus (-a, -um) ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen

Zwei Mengen [math]A[/math] und [math]B[/math] sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

[math]A\cap B=\emptyset[/math]

Eine Familie von Mengen [math](M_i)_{i\in I}[/math] ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

[math] M_i \cap M_j = \emptyset[/math] für [math]\!\,i \ne j[/math] und [math]i,j\in I[/math]

Die Vereinigung [math]M[/math] einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

[math]M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i[/math]

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von [math]M[/math] vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele

  • Die Mengen [math]A = \{1, 2, 3\}[/math] und [math]B = \{7, 8, 11\}[/math] sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
  • Die Mengen [math]A = \{1, 2, 7\}[/math] und [math]B = \{6, 7, 8, 11\}[/math] sind nicht disjunkt, da sie das Element [math]7[/math] gemeinsam haben.
  • Die drei Mengen [math]A = \{1, 2, 3\}[/math], [math]B = \{4, 5\}[/math] und [math]C = \{5, 6, 7\}[/math] sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich [math]B \cap C[/math]) nicht leer ist.
  • Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: [math]\{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots[/math].
  • Zwei verschiedene Geraden [math]g[/math] und [math]h[/math] in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden [math]g[/math] bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

Anwendung

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

  1. 0 bis 1000 Euro
  2. 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

Eigenschaften

  • Die leere Menge [math]\emptyset[/math] ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
  • [math]\{a\}[/math] und [math]B[/math] sind genau dann disjunkt, wenn [math]a \notin B[/math].
  • Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
  • Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
  • Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt[1]

Siehe auch

Weblinks

 Wiktionary: disjunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Siehe die Antworten zur Frage „Is the empty family of sets pairwise disjoint?“

Kategorien: Mengenlehre

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Disjunkt (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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