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Dirichlet-Funktion


Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist eine mathematische Funktion, die üblicherweise mit [math]D[/math] bezeichnet wird. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen und somit definiert als:

[math]D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational,} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational.} \end{cases}[/math]

Eigenschaften

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für

[math]D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)[/math],

Riemann-Integrierbarkeit

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung [math]Z[/math] im Teilintervall [math]\left [ x_{k-1}, x_k \right ][/math] stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme [math]U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}\ltx\ltx_k}f(x)[/math]

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme [math]O(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}\ltx\ltx_k}f(x)[/math]

stets die Länge des Intervalls, über das integriert wird, ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

[math]\begin{matrix}\text{Oberintegral} & = & \text{kl. Obersumme} & = & \text{gr. Untersumme} & = & \text{Unterintegral} \\ \overline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx & = & \inf_ZO(Z) & = & \sup_ZU(Z) & = & \underline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx\end{matrix}[/math]

Da aber für jede beliebige Zerlegung die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist [math]D[/math] auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Lebesgue-Integrierbarkeit

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall [math]I[/math] wie folgt schreiben:

[math]\int_{I} D{\mathrm d}\lambda = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q})[/math],

wobei [math]\lambda[/math] für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von [math]\lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})[/math] ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist [math]\lambda(I \cap \mathbb{Q})[/math] stets 0, da die Punktmenge [math]\mathbb{Q}[/math] der rationalen Zahlen abzählbar und somit eine [math]\lambda[/math]-Nullmenge ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:

[math]\int_{I} D{\mathrm d}\lambda = 0[/math].

Verwandte Funktion

Eine verwandte Funktion ist auf [math][0;1][/math] wie folgt definiert:

[math]f(x) := \begin{cases} 1,& \mbox{wenn } x=0, \\ 0, & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational,} \\ \frac 1q, & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1. \end{cases}[/math]

Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion auch Riemann-integrierbar:

[math]\int\limits_0^1 f(x) {\mathrm d}x = 0[/math].

Sie wird unter anderem etwa Thomaesche Funktion genannt.

Weblinks


Kategorien: Mathematische Funktion

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