Charakteristische Untergruppe - LinkFang.de





Charakteristische Untergruppe


In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe [math]G[/math] eine Untergruppe [math]H[/math], die unter jedem Automorphismus von [math]G[/math] in sich abgebildet wird.

Definition

Eine Untergruppe [math]H[/math] von [math]G[/math] heißt charakteristisch, wenn für jeden Automorphismus, das heißt bijektiven Gruppenhomomorphismus [math]f:G\rightarrow G[/math], stets [math]f(H)\subset H[/math] gilt.[1]

Eigenschaften

Jede charakteristische Untergruppe ist Normalteiler, denn sie bleibt insbesondere unter jedem inneren Automorphismus erhalten. Umgekehrt ist aber nicht jeder Normalteiler charakteristisch. Betrachte z. B. die Kleinsche Vierergruppe. Jede ihrer Untergruppen ist normal, aber es gibt einen Automorphismus, der die 2-elementigen Untergruppen permutiert, also ist keine der 2-elementigen Untergruppen charakteristisch.

Die Gruppe selbst und die triviale Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht, sind stes charakteristisch. Gibt es keine weiteren charakteristischen Untergruppen, so nennt man die Gruppe charakteristisch einfach, die Kleinsche Vierergruppe ist nach dem gerade Gesagten ein Beispiel.

Ist [math]H[/math] ein Normalteiler der endlichen Gruppe [math]G[/math], und hat [math]G[/math] keine weitere Untergruppe derselben Ordnung, dann ist [math]H[/math] charakteristisch, da Automorphismen Untergruppen nur auf ordnungsgleiche Untergruppen abbilden.

Streng charakteristische Untergruppe

Ein verwandtes Konzept ist das einer streng charakteristischen Untergruppe (engl. distinguished subgroup). Eine solche Untergruppe [math]H[/math] bleibt fest unter jedem Epimorphismus (surjektiven Homomorphismus) von [math]G[/math] nach [math]G[/math]. Beachte, dass für eine unendliche Gruppe nicht jeder Epimorphismus ein Automorphismus sein muss. Für endliche Gruppen fallen die Begriffe charakteristische Untergruppe und streng charakteristische Untergruppe allerdings zusammen.

Voll charakteristische Untergruppe

Eine noch stärkere Forderung ist die einer voll charakteristischen Untergruppe (engl. fully characteristic subgroup oder fully invariant subgroup). Eine solche Untergruppe [math]H[/math] wird unter jedem Endomorphismus (Homomorphismus von [math]G[/math] nach [math]G[/math]) in sich abgebildet, d. h. wenn [math]f:G\rightarrow G[/math] ein Homomorphismus ist, dann ist [math]f(H)\subset H[/math].

Beispiele

Jede voll charakteristische Untergruppe ist also streng charakteristisch, jedoch nicht umgekehrt. Das Zentrum einer Gruppe ist stets streng charakteristisch, aber z. B. nicht voll charakteristisch für die Gruppe [math]D_6\times C_2[/math] (das direkte Produkt der Diedergruppe der Ordnung 6 mit der zyklischen Gruppe der Ordnung 2).

Die Kommutatorgruppe einer Gruppe ist stets voll charakteristisch in ihr, ebenso wie die Torsionsuntergruppe einer abelschen Gruppe.

Die Eigenschaft, charakteristisch oder voll charakteristisch zu sein, ist transitiv, d. h. ist [math]H[/math] eine (voll) charakteristische Untergruppe von [math]K[/math] und [math]K[/math] eine (voll) charakteristische Untergruppe von [math]G[/math], dann ist auch [math]H[/math] eine (voll) charakteristische Untergruppe von [math]G[/math].

Einzelnachweise

  1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Seite 28: Characteristic and Fully-Invariant Subgroups

Kategorien: Gruppentheorie | Gruppe (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristische Untergruppe (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.