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Charakteristik (Algebra)


Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt die kleinste Anzahl der benötigten Schritte an, in denen man das multiplikative neutrale Element (1) eines Körpers oder Rings addieren muss, um das additive neutrale Element (0) zu erhalten. Ist dies nicht möglich, so ist die Charakteristik 0. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter.

Definition

Die Charakteristik eines unitären Ringes [math]R[/math] ist die kleinste natürliche Zahl [math]n\geq 1[/math], für die in der Arithmetik des Ringes die n-fache Summe des Einselementes [math]1[/math] gleich dem Nullelement wird, also

[math]\begin{matrix}\underbrace{1+1+\dotsb+1}&=&0\\n\ \mathrm{mal} \end{matrix}[/math]

Ist jede endliche Summe von Einsen ungleich Null (wie das zum Beispiel bei den reellen Zahlen der Fall ist), dann wird dem Ring definitionsgemäß die Charakteristik [math]0[/math] zugeordnet.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von [math]R[/math] ist [math]\operatorname{char}(R)[/math].

Alternative Definitionsmöglichkeiten sind:

  • Die Charakteristik des unitären Rings [math]R[/math] ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus
[math]\chi \colon \mathbb Z\to R \colon \chi(n):= n\cdot1[/math].
  • Die Charakteristik des unitären Rings [math]R[/math] ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl [math]n[/math], für die [math]R[/math] einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring [math]\Z/n\Z[/math] ist. (Beachte, dass [math]\Z/0\Z=\Z[/math] ist.)

Bemerkung

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

Eigenschaften

Bei Ringen

Jeder unitäre Teilring [math]S[/math] eines unitären Rings [math]R[/math] hat dieselbe Charakteristik wie [math]R[/math].

Gibt es einen Ringhomomorphismus [math]R\to S[/math] zwischen zwei unitären Ringen [math]R[/math] und [math]S[/math], so ist die Charakteristik von [math]S[/math] ein Teiler der Charakteristik von [math]R[/math].

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl. Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist [math]R[/math] ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt [math](x+y)^p = x^p + y^p[/math] für alle [math]x,y\in R[/math]. Die Abbildung [math]f\colon R\to R,\;x\mapsto x^p[/math] ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.

Beispiele

Der Restklassenring [math]\Z/n\Z[/math] hat die Charakteristik n.

Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.

Für ein irreduzibles Polynom g vom Grad n über dem Restklassenkörper [math]\Bbb F_p[/math] ist der Faktorring [math]\Bbb F_p[X]/(g)[/math] ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper [math]\Bbb F_{p^n}[/math]), der [math]\Bbb F_p[/math] enthält und demnach die Charakteristik p hat.

Bei Körpern

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Beispiele

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über [math]\Bbb F_p[/math] oder der algebraische Abschluss von [math]\Bbb F_p[/math].

Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik [math]p[/math] ist eine Potenz von [math]p[/math]. Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper [math]\Bbb F_p[/math] und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von [math]p[/math] ist.

Daraus folgt, dass jeder endliche Körper als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss: Sei [math]p^n[/math] die Ordnung des endlichen Teilkörpers und [math]m[/math] die Dimension des ursprünglichen Körpers als Vektorraum über dem Teilkörper. Dann hat dieser Vektorraum [math](p^n)^m[/math] viele Elemente, was eine p-Potenz ist.

Literatur


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