Physikalische Einheit | |
---|---|
Einheitenname | Cent |
Einheitenzeichen | ¢, [math]\mathrm{C}[/math] |
Physikalische Größe(n) | Tonhöhenintervall |
Formelzeichen | [math]i\!\,,n\,,c[/math] |
Dimension | [math]\mathsf{\frac{T^{-1} }{T^{-1} } = 1}[/math] |
In SI-Einheiten | [math]\mathrm[/math] |
Das Cent (von lat. centum „hundert“) ist eine additive Maßeinheit (genauer: Hilfsmaßeinheit), mit der ein sehr genauer Vergleich der Größen musikalischer Intervalle möglich ist.
Das Cent ist definiert durch:
Da eine Oktave zwölf Halbtöne umfasst, gilt auch:
Aus der additiven Struktur der Intervallgrößen folgt:
Da dies dem additiven Intervall-Empfinden des Gehörs (Hörereignis) entspricht, ist der Vergleich von Tonhöhen, Tonsystemen und Stimmungen mittels der Einheit Cent praxisnäher als Angaben zu Frequenz-Verhältnissen, bei denen ein Größenvergleich nicht unmittelbar möglich ist.
Für das Frequenzverhältnis [math]p[/math] (höhere Frequenz geteilt durch tiefere) des Intervalls 1 Cent gilt:
da 2 gerade das Frequenzverhältnis der Oktave ist. Daraus folgt:
Das Cent ist genormt in DIN 13320 (siehe unten).
Die Bezeichnung Cent wurde 1875 von Alexander John Ellis (1814–1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz’ Lehre von den Tonempfindungen als Einheit zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.
Die Cent-Einheit ist so gewählt, dass wahrnehmbare Frequenzunterschiede hinreichend genau als ganzzahlige Vielfache von Cents ausgedrückt werden können. Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für nacheinander erklingende Sinustöne beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa drei bis sechs Cent liegt; bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede hörbar. Bei größeren Tonabständen lassen sich Intervallgrößen durch Schwebungen der harmonischen Obertöne, die in musikalisch verwendeten Tönen meistens vorhanden sind, sehr genau bestimmen. Bei tiefen Sinustönen mit geringer Lautstärke (Schalldruckpegel) steigt die Unterscheidungsschwelle auf über 100 Cent, also mehr als einen Halbton.
Das Centmaß ist proportional zur Intervallgröße, die als Vielfaches einer Oktave angeben werden kann. Die Oktave ist ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse, die sich exponentiell zur Basis 2 verhalten.
Intervall | Frequenzverhältnis | Größe |
---|---|---|
1 Oktave | 2 | 1200 Cent |
2 Oktaven | 4 | 2400 Cent |
3 Oktaven | 8 | 3600 Cent |
… | ||
k Oktaven | 2k | 1200·k Cent |
log2(q) Oktaven | q [1] | 1200·log2(q) Cent |
kleine Terz | 6⁄5 | 1200·log2(6⁄5) Cent = 315,641 Cent |
große Terz | 5⁄4 | 1200·log2(5⁄4) Cent = 386,314 Cent |
Quarte | 4⁄3 | 1200·log2(4⁄3) Cent = 498,045 Cent |
Quinte | 3⁄2 | 1200·log2(3⁄2) Cent = 701,955 Cent |
Werden Intervalle hintereinander ausgeführt, so kann man ihre Größen addieren, während ihre Frequenzverhältnisse (Proportionen) multipliziert werden müssen.
Die Einheit Cent verwendet man vor allem für die Darstellung der feinen Unterschiede der Intervalle in den verschiedenen mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen. So müssen z. B. gegenüber reinen Quinten und Terzen leichte Verstimmungen in Kauf genommen werden, um möglichst viele Tonarten (bei einer zwölfstufigen Skala der Oktave) spielbar zu machen:
Beispiel | reine Quinte
702 Cent |
mitteltönige Quinte
697 Cent |
Beispiel (erst die Terz, dann im Akkord) |
reine große Terz (220 Hz und 275 Hz)
386 Cent |
gleichstufige große Terz (220 Hz und 277 Hz)
400 Cent |
Tabellen der mehr oder weniger reinen Terzen und Quinten in verschiedenen Stimmungssystemen: siehe Stimmung.
Gegeben sei die Proportion (Frequenzverhältnis) [math]p = \frac{f_2}{f_1}[/math] eines beliebigen Intervalls.[2] Das logarithmische Intervallmaß [math]i[/math] errechnet sich dann nach der (inhaltlich seit ca. 1650 bekannten) Definitions-Formel:
Diese Gleichung übersetzt die multiplikativen akustischen Proportionen in die additiven logarithmischen Intervallmaße (Beispiel oben).
Mit
erhalten wir:
Nach Umrechnung des Zweier-Logarithmus in einen Zehner-Logarithmus über [math]\log_2 p = \frac{\lg p}{\lg 2}[/math] entsteht eine für Taschenrechner bequem handhabbare Gleichung:
Die umgekehrte Umrechnung eines beliebigen in Cent angegebenen Intervalls [math]i[/math] in die Proportion (Frequenzverhältnis) [math]p[/math] wird seltener benötigt. Dafür löst man die Gleichung [math]i = 1200 \cdot \log_2{p} \; \mathrm{Cent}[/math] nach [math]p[/math] auf, indem man beide Seiten durch 1200 Cent dividiert und anschließend zur Basis 2 potenziert (dadurch wird auf der einen Seite der Logarithmus entfernt):
Mit bekannten Rechenregeln für Potenzen ergibt sich für den Taschenrechner folgende Näherung:
Bei den Dreiklangsintervallen erhält man folgende Umrechnung:
Intervall [math]i[/math] in Cent | Proportion [math]p[/math] | Intervall |
---|---|---|
316 Cent | [math] 2^{\frac{316}{1200}} \approx 1{,}2 = \tfrac{6}{5} [/math] | reine kleine Terz |
386 Cent | [math] 2^{\frac{386}{1200}} \approx 1{,}25 = \tfrac{5}{4} [/math] | reine große Terz |
702 Cent | [math] 2^{\frac{702}{1200}} \approx 1{,}5 = \tfrac{3}{2} [/math] | reine Quinte |
Der oben genannte Faktor [math]\sqrt[1200]{2} = 2^\frac{1}{1200} [/math] ist die Proportion (das Frequenzverhältnis) eines Tonunterschieds von einem Cent. Die Frequenzberechnung erfolgt daher mit dieser Zahl als Basis und dem Intervall in Cent im Exponenten.
Beispiele einiger als Stimmton a' verwendeter Frequenzen, ausgehend von 440 Hz:
Der Ton a′ hat die Frequenz von 440 Hz. Der Ton c″ liegt eine kleine Terz darüber.
Der Ton c″ hat demnach
Nach DIN 13320 „Akustik; Spektren und Übertragungskurven; Begriffe, Darstellung“[4] bezeichnet Cent ein Frequenzmaßintervall, dessen Frequenzverhältnis [math]2^{\frac{1}{1200}}[/math] beträgt. Das Cent kann wie eine Einheit benutzt werden; somit kann das Frequenzmaßintervall der Frequenzen f1 und f2 > f1 bezeichnet werden als [math]1200 \cdot \log_2 \left( \frac{f_2}{f_1} \right) \, \mathrm{Cent}[/math].
Man kann auch dem gesamten Frequenzbereich eine Skala fester Cent-Werte zuordnen. Zur Berechnung dieses absoluten Cents wird 1 Hz = 0 Cent gesetzt. Es ergeben sich dann: 2 Hz = 1200 Cent, 4 Hz = 2400 Cent usw. mit den entsprechenden Zwischenwerten.[5]