Cantor-Diagonalisierung - LinkFang.de





Cantor-Diagonalisierung


Als Cantor-Diagonalisierung werden zwei von Georg Cantor entwickelte Diagonalisierungsbeweisverfahren bezeichnet:

Im Jahr 1874 fand bzw. veröffentlichte Georg Cantor einen Beweis zur Abzählbarkeit der rationalen Zahlen und der algebraischen Zahlen durch Anwendung des „Ersten Cantorschen Diagonalverfahrens“. Gleichzeitig veröffentlichte er einen Beweis zur Überabzählbarkeit der reellen Zahlen inkl. Folgerung der Existenz nicht-algebraischer reeller Zahlen. In den Jahren 1890/1891 fand bzw. veröffentlichte er den Beweis, dass die Potenzmenge jeder beliebigen Menge mächtiger ist als diese, und dass also die Potenzmenge der natürlichen Zahlen überabzählbar ist. Dieser Beweis wird als „Zweites Cantorsches Diagonalverfahren“ bezeichnet und war Auslöser der Begründung der transfiniten Mengenlehre durch Georg Cantor in den Jahren 1895 bis 1897. Die beiden Überabzählbarkeitsbeweise belegen die Überabzählbarkeit des arithmetischen Kontinuums und implizit auch die des geometrischen Kontinuums – gemäß dem Postulat „Menge der reellen Zahlen isomorph zur Menge der Punkte einer beidseitig unendlich ausgedehnten Geraden“. Ein weiterer expliziter Beweis der Überabzählbarkeit des geometrischen Kontinuums basiert auf einer Beweisidee („Schirmchenbeweis“) von Amir D. Aczel aus dem Jahr 2000.[1]

Einzelnachweise

  1. Peter Weigel: Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. VDM Verlag Dr. Müller, Saarbrücken 2008, ISBN 978-3-639-08990-5.
pl:Rozumowanie przekątniowe

Kategorien: Mengenlehre

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