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Butterworth-Filter


Butterworth-Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die so ausgelegt sind, dass der Frequenzgang unterhalb der Grenzfrequenz ωg möglichst lange horizontal verläuft. Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Übertragungsfunktion abnehmen und in die Durchlassdämpfung von n·20dB pro Frequenzdekade übergehen (n ist die Ordnung des Butterworth-Filters). Die einfachste Form des Butterworth-Filter 1. Ordnung stellt das RC-Glied dar.

Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt ca. 3dB, das heißt ein Signal mit der Grenzfrequenz wird auf das [math]\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071[/math] -fache des ursprünglichen Signals abgeschwächt. Butterworth-Filter haben sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der Übertragungsfunktion.

Benannt wurde das Butterworth-Filter nach dem britischen Physiker Stephen Butterworth, der diese Art von Filter erstmals beschrieb [1].

Übertragungsfunktion

Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:

[math] \left|\underline{A}\right|^2 = \frac{A_0^2}{1+ k_{2n} \Omega ^{2n}} [/math]

mit

[math]A_0[/math] Gleichspannungsverstärkung
[math]\Omega = \frac{f}{f_g}[/math] auf Grenzfrequenz normierte Frequenz
[math]n[/math] Ordnung des Filters

Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.

Koeffizienten

Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form ([math]P = \frac {p}{\omega_0}[/math]):

[math] A[P] = \frac{A_0}{\prod_{i} (1 + a_i P + b_i P^2)} [/math]

ergeben sich für die Koeffizienten [math] a_i [/math] und [math] b_i [/math] folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

[math]i = 1 \ldots \frac {n}{2}[/math]
[math] a_i = 2 \cos \frac{(2 i - 1) \pi}{2 n}[/math]
[math] b_i = 1 \ [/math]

Ordnung n des Filters ungerade:

[math]i = 2 \ldots \frac{(n + 1)}{2}[/math]
[math] a_1 = 1 \ [/math]
[math] b_1 = 0 \ [/math]
[math] a_i = 2 \cos \frac{(i - 1) \pi}{n} [/math]
[math] b_i = 1 \ [/math]

Eigenschaften

Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

  • monotoner Amplitudengang sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich
  • schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
  • beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung
  • der Phasenverlauf besitzt eine kleine Nichtlinearität
  • relativ frequenzabhängige Gruppenlaufzeit
  • großer Realisierungsaufwand bei hoher Ordnung

Filterrealisierung

Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:

Das k-te Element ist gegeben mit:

[math]C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ][/math] für k ungerade
[math]L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ][/math] für k gerade

In der digitalen Signalverarbeitung können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden. Die Kaskadierung zweier Butterworth-Filter n-ter Ordnung ergibt einen Linkwitz-Riley-Filter 2n-ter Ordnung.

Normalisierte Butterworth-Polynome

Die Butterworth-Polynome werden normalerweise als komplex konjugierte Pole s1 und sn geschrieben. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ωc=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:

[math]B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right][/math] für n gerade
[math]B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right][/math] für n ungerade

Auf 4 Dezimalziffern genau lauten sie:

n Faktoren der Polynome [math]B_n(s)[/math]
1 [math]s+1[/math]
2 [math]s^2+\sqrt{2}s+1[/math]
3 [math]\left(s+1\right)\left(s^2+s+1\right)[/math]
4 [math]\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2}}s+1\right)[/math]
5 [math]\left(s+1\right)\left(s^2+\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}s+1\right)[/math]
6 [math]\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{3}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{3}}s+1\right)[/math]
7 [math]\left(s+1\right)\left(s^2+0{,}4450s+1\right)\left(s^2+1{,}2470s+1\right)\left(s^2+1{,}8019s+1\right)[/math]
8 [math]\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}s+1\right)[/math]

Einzelnachweise

  1. Stephen Butterworth: On the Theory of Filter Amplifiers In: Wireless Engineer, Band 7, 1930, Seiten 536–541

Siehe auch

Weblinks


Kategorien: Filter (Elektrotechnik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Butterworth-Filter (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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