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Bose-Einstein-Statistik


Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose und Albert Einstein, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl [math] \langle n(E) \rangle [/math] eines Quantenzustands der Energie [math]E\,[/math] im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur [math]T[/math] für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie [math]E[/math] in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen [math]x, y, z, m\,[/math] zweier Bosonen ([math]x, y\,[/math] und [math]z\,[/math]: Ortsvariable; [math]m\,[/math]: Spinvariable) die Wellenfunktion [math]\psi \,[/math] bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt [math] (\psi \rightarrow \psi) [/math], während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt [math] (\psi \rightarrow -\psi) [/math]. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

[math] \langle n(E) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1} [/math]

mit

  • dem chemischen Potential [math]\mu[/math], welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: [math]\mu \lt E[/math];
    daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte [math]E - \mu \gt 0[/math] definiert.
  • der Energienormierung [math]\beta[/math]. Die Wahl von [math]\beta[/math] hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
    • üblicherweise wird sie gewählt zu [math]\beta = 1/(k_\mathrm{B} T)[/math] mit der Boltzmann-Konstanten [math]k_\mathrm{B}[/math];
    • sie beträgt [math]\beta = 1/T[/math], wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn [math]k_\mathrm{B}[/math] auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur [math]T_\lambda[/math] erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass [math]\mu\,[/math] gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei [math] \langle n(E) \rangle [/math] um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad [math]g_i = 2s +1[/math] zu multiplizieren ([math]s\,[/math]: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Literatur

  • U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).

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