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Binomischer Lehrsatz


Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms [math]x+y[/math], also einen Ausdruck der Form

[math] (x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}[/math]

als Polynom [math]n[/math]-ten Grades in den Variablen [math]x[/math] und [math]y[/math] auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form [math](x+y)^n[/math] auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente [math]x[/math] und [math]y[/math] eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen [math]n\in\Bbb N_0[/math] gilt die Gleichung:

[math] (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)[/math]

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen [math]x[/math] und [math]y[/math] (mit der Konvention [math]0^0=1[/math]).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

[math] \binom{n}{k} = \frac{n \cdot (n-1) \dotsm (n-k+1)}{1 \cdot 2 \dotsm k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot{k!}}[/math],

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit [math]n!=1\cdot 2\dotsm n[/math] ist hierbei die Fakultät von [math]n[/math] bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme [math]\tbinom{n}{ k} x^{n-k}y^k[/math] sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl [math]\tbinom{n}{k}[/math] an das Ringelement [math]x^{n-k}y^k[/math] aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als [math]\Z[/math]-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall [math]n=2[/math] heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

  • Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente [math]x[/math] und [math]y[/math] in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d.h. [math]x\cdot y = y\cdot x[/math] gilt.
  • Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
[math](x+y)^n = x^n + \left[ \sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \right] + y^n[/math].

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl [math]n[/math] kann durch vollständige Induktion erbracht werden.[1] Für jedes konkrete [math]n[/math] kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel

[math] (x+y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}y + \binom{3}{2}\, xy^{2} + \binom{3}{3}\, y^{3}=x^3+3\,x^2y+3\,xy^2+y^3[/math]
[math] (x-y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}(-y) + \binom{3}{2}\, x(-y)^{2} + \binom{3}{3}\,(-y)^{3}=x^3-3\,x^2y+3\,xy^2-y^3[/math]

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten [math]\alpha[/math] mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn [math]\alpha[/math] eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

[math] (x+y)^{\alpha} =x^\alpha\left(1+\tfrac{y}{x}\right)^\alpha =x^\alpha\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}\left(\frac{y}{x}\right)^k =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^{\alpha - k}y^{k}\quad (2)[/math].

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle [math] x,y\in\R [/math] mit [math]x\gt0[/math] und [math]\left|\tfrac{y}{x}\right| \lt 1 [/math].

Im Spezialfall [math] \alpha\in\N[/math] geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle [math] x,y\in\C [/math] gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

[math] \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \dotsm (\alpha - k + 1)}{k!} [/math]

Im Fall [math]k = 0[/math] entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für [math]\alpha = -1[/math] und [math]x = 1[/math] ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Wikibooks Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

Weblinks


Kategorien: Algebra | Analysis

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