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Bild (Mathematik)


Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild bzw. die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.[1]

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge[2] oder Wertebereich[1] benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der gesamten Zielmenge Y[3] verwendet werden.

Definition

Für eine Funktion [math] f\colon X \to Y [/math] und eine Teilmenge [math]M[/math] von [math]X[/math] bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

[math]f(M) := \{ f(x) \mid x \in M\}[/math]

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter [math]f[/math], also:

[math]\operatorname{Bild}(f) := f(X)[/math]

Alternative Notationen

Für [math]f(M)[/math] wird auch die Notation [math]f[M][/math] verwendet.

Die englische Bezeichnung [math]\operatorname{im} f[/math] („im“ vom englischen Wort image) für [math]\operatorname{Bild}(f)[/math] ist ebenfalls gebräuchlich.

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel: [math]\mathrm{Bild}(f) = \{A, B, D\}[/math].

Beispiele

Wir betrachten die Funktion [math] f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} [/math] (ganze Zahlen) mit [math]f(x)\ := x^2[/math].

  • Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:
[math]f(\{ 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\ [/math]
[math]f(\{ -3, -2, -1 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\ [/math]
[math]f(\{ -3, -2, -1, 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\ [/math]
  • Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:
[math]\operatorname{Bild}(f) = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dotsc \}\ [/math]

Eigenschaften

Es sei [math]f\colon X \to Y[/math] eine Funktion und [math]M[/math] und [math]N[/math] seien Teilmengen von [math]X[/math]:

  • [math]f(\varnothing) = \varnothing[/math]
  • [math]M \subseteq N \Rightarrow f(M) \subseteq f(N)[/math]
  • [math]f[/math] ist genau dann surjektiv, wenn [math]\operatorname{Bild}(f) = Y[/math].
  • [math]f(M \cup N) = f(M) \cup f(N)[/math]
  • [math]f(M \cap N) \subseteq f(M) \cap f(N)[/math]
    Ist [math]f[/math] injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S 106.
  2. Reinhard Dobbener: Analysis. Studienbuch für Ökonomen. 4., korrigierte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-57999-4, S 12, Definition 1.12.
  3. Michael Ruzicka: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. S. 21 (PDF; 74 kB).

Kategorien: Mathematischer Grundbegriff | Mengenlehre

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