Betaverteilung - LinkFang.de





Betaverteilung


Die Betaverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Intervall [math](0,1)[/math].

Definition

Betaverteilung auf (0,1)

Die Betaverteilung [math]Beta(p,q)[/math] ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

[math]f(x)={{1}\over {B(p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}.[/math]

Außerhalb des Intervalls [math](0,1)[/math] wird sie durch [math]f(x)=0[/math] fortgesetzt. Für [math]p,q \geq 1[/math] lässt sich [math](0,1)[/math] durch [math][0,1][/math] ersetzen. Die Betaverteilung besitzt die reellen Parameter [math]p[/math] und [math]q[/math] (in den nebenstehenden Grafiken [math]\alpha[/math] und [math]\beta[/math]). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird [math]p,q \gt 0[/math] (bzw. [math]\alpha,\beta \gt 0[/math]) gefordert.

Der Vorfaktor [math]1/B(p,q)[/math] dient der korrekten Normierung. Der Ausdruck

[math]B(p,q)={\Gamma(p) \Gamma(q)\over\Gamma(p+q)}=\int_0^1 u^{p-1} (1-u)^{q-1}\, \mathrm{d}u[/math]

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet [math]\Gamma[/math] die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

[math] F(x)=\begin{cases} 0 &\text{für}\; x\leq 0,\\ I_x(p,q) &\text{für}\; 0 \lt x \leq 1,\\ 1 &\text{für}\; x\gt1\\ \end{cases}[/math]

mit

[math]I_x(p,q):=\frac{1}{B(p,q)}\int_0^{x} u^{p-1} (1-u)^{q-1}\mathrm{d}u.[/math]

Die Funktion [math]I_x(p,q)[/math] heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

Betaverteilung auf (a,b)

Die allgemeine Betaverteilung ist definiert zu

[math]f(x)={{1}\over {B(a,b,p,q)}}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1}, [/math]

wobei a und b die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von [math]B[/math] zu

[math]B(a,b,p,q)=\int_a^b (u-a)^{p-1} (b-u)^{q-1}\mathrm{d}u={\Gamma(p)\Gamma(q)\over\Gamma(p+q)}(b-a)^{p+q-1}.[/math]

Die weiteren Ausführungen in diesem Artikel beziehen sich nur auf die auf das Intervall [math](0,1)[/math] eingeschränkte Betaverteilung.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert berechnet sich zu

[math]\operatorname{E}(X)={p \over p+q}[/math].

Modus

Der Modus, also die Maximalstelle der Dichtefunktion [math]f[/math], ist

[math]\left(1+\frac{q-1}{p-1}\right)^{-1}=\frac{p-1}{p+q-2}[/math].

Varianz

Die Varianz ergibt sich zu

[math]\operatorname{Var}(X)={pq \over (p+q+1)(p+q)^{2}}[/math].

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

[math]\sigma = \sqrt{\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)^2}}[/math].

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

[math]\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{q}{p(p+q+1)}}[/math].

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

[math]\operatorname{v}(X) = \frac{2(q-p)\sqrt{p+q+1}}{(p+q+2)\sqrt{pq}}[/math].

Höhere Momente

Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente

[math]\operatorname{E}(X^k)= \prod_{r=0}^{k-1} \frac{p+r}{p+q+r}[/math].

Symmetrie

Die Betaverteilung ist für [math]p=q[/math] symmetrisch um [math]x=\frac{1}{2}[/math] mit der Schiefe [math]\operatorname{v}(X)=0[/math].

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgröße lautet

[math]M_X(t) = 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \left( \prod_{k=0}^{n-1} \frac{p+k}{p+q+k} \right) \frac{t^n}{n!}[/math].

Mit der hypergeometrischen Funktion [math] _{1}F_1 [/math] erhält man die Darstellung

[math]M_X(t)= _{1}F_1(p;q;t) [/math].

Charakteristische Funktion

Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die charakteristische Funktion

[math] \varphi_X(t)= _{1}F_1(p;q;it) [/math].

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Spezialfälle

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn [math]X \sim \operatorname{F}(m,n)[/math] F-verteilt und [math]Y=\frac{m X/n}{1+m X/n}[/math] ist, dann verteilt sich [math]Y \sim Beta(m/2,n/2).[/math]

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn [math]X \sim \gamma(p_1,b)[/math] und [math]Y \sim \gamma(p_2,b)[/math] unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern [math]p_1, b[/math] bzw. [math]p_2, b[/math], dann ist die Größe [math]\tfrac{X}{X+Y}[/math] betaverteilt mit Parametern [math]p_1[/math] und [math]p_2[/math], kurz

[math]Beta(p_1,p_2) \sim \frac{\gamma(p_1,b)}{\gamma(p_1,b)+\gamma(p_2,b)}.[/math]

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Sind [math]X_1, X_2, \dotsc, X_n[/math] unabhängige auf [math][0,1][/math] stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann sind die Ordnungsstatistiken [math]X_{(1)}, X_{(2)}, \dotsc, X_{(n)}[/math] betaverteilt. Genauer gilt

[math]X_{(k)} \sim Beta(k, n-k+1)[/math]

für [math]k = 1,\dotsc,n[/math].

Mischverteilungen

Eine Binomialverteilung, deren Parameter [math] p [/math] betaverteilt ist, nennt man Beta-Binomialverteilung. Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung.

Beispiel

Die Betaverteilung kann aus zwei Gammaverteilungen erhalten werden: Der Quotient [math]X = U/(U+V)[/math] aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen [math]U[/math] und [math]V[/math], die beide gammaverteilt sind mit den Parametern [math]b[/math] und [math]p_u[/math] bzw. [math]p_v[/math], ist betaverteilt mit den Parametern [math]p_u[/math] und [math]p_v[/math]. [math]U[/math] und [math]V[/math] lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit [math]2p_u[/math] bzw. [math]2p_v[/math] Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der Linearen Regression wird eine Regressionsgerade [math]y = a + bx[/math] durch eine Punktwolke mit [math]n[/math] Wertepaaren [math](x_i;y_i) (i=1,\dots ,n)[/math] zweier statistischer Merkmale [math]x[/math] und [math]y[/math] gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der [math]y_i[/math]-Werte von der Geraden minimiert wird.

Die totale Streuung von y (TSS) lässt sich mit der Streuungszerlegung zerlegen in die so genannte erklärte Streuung der durch die Gerade geschätzten Werte y* (ESS) und die nichterklärte Streuung der Residuen (RSS):

[math]TSS= ESS+RSS[/math].

Das Bestimmtheitsmaß, der Anteil der erklärten Streuung an der Gesamtstreuung

[math]r^{2}={{ESS}\over{TSS}}[/math]

beziehungsweise

[math]r^{2}={ {ESS} \over { {ESS}+{RSS}}}[/math]

ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von [math]x[/math] und [math]y[/math] darstellt, ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt.

Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim Modelltest der Regression durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

Weblinks


Kategorien: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Betaverteilung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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