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Gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer

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Ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer, auch kurz gleichmäßig bester Schätzer oder bester Schätzer genannt, ist ein erwartungstreuer Punktschätzer, der sich dadurch auszeichnet, dass er innerhalb einer vorgegebenen Klasse von Schätzern derjenige Schätzer ist, der am wenigsten streut, das heißt die kleinste Varianz besitzt. Dementsprechend findet sich auch die Bezeichnung varianzminimierender Schätzer[1] oder gleichmäßig minimaler Schätzer[2]. Manche Autoren verwenden auch die aus dem Englischen übernommene Bezeichnung UMVUE-Schätzer[3] oder UMVU-Schätzer als Abkürzung für Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell [math] (X, \mathcal A, P_\vartheta \, \colon \vartheta \in \Theta) [/math] sowie eine zu schätzende Parameterfunktion

[math] g: \Theta \to \R [/math].

Dann heißt ein erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz [math] S [/math] für [math] g [/math] ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für [math] g [/math], wenn für jeden weiteren erwartungstreuen Schätzer mit endlicher Varianz [math] T [/math] für [math] g [/math] gilt:

[math] \operatorname{Var}_\vartheta(S)\leq \operatorname{Var}_\vartheta(T) \text{ für alle } \vartheta \in \Theta[/math]

oder aufgrund der Erwartungstreue äquivalent dazu

[math]\operatorname E_\vartheta (S- g(\vartheta))^2 \leq \operatorname E_\vartheta (T- g(\vartheta))^2 \text{ für alle } \vartheta \in \Theta[/math].

Bemerkungen

Intuitiv sind gleichmäßig beste Schätzer gut zugänglich: Hat man zwei erwartungstreue Schätzer zur Hand, so würde man denjenigen für „besser“ halten, der weniger um den zu schätzenden Wert streut. Derjenige Schätzer, der in dieser Hinsicht besser als alle anderen erwartungstreuen Schätzer ist, ist dann der gleichmäßig beste Schätzer.

Mathematisch existieren jedoch folgende Probleme:

  • Im Allgemeinen muss kein gleichmäßig bester Schätzer existieren.
  • Selbst wenn ein gleichmäßig bester Schätzer existieren sollte, so ist nicht ersichtlich, wie man ihn findet.
  • Ist ein erwartungstreuer Schätzer gegeben, so ist es problematisch herauszufinden, ob dieser ein gleichmäßig bester Schätzer ist. Problem ist hierbei, dass die Menge der erwartungstreuen Schätzer, mit denen er verglichen werden muss, sich nur schwer präzisieren lässt.

Wichtige Aussagen

Zentrale Aussagen bezüglich gleichmäßig besten Schätzern sind:

Kovarianzmethode

Die Kovarianzmethode liefert eine Möglichkeit, mittels der Kovarianz gleichmäßig beste Schätzer zu konstruieren oder für einen gegebenen Schätzer zu überprüfen, ob er ein gleichmäßig bester Schätzer ist.

Ist nämlich ein erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz [math] T [/math] gegeben, so ist [math] T [/math] genau dann ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer, wenn für jeden Null-Schätzer [math] N [/math]

[math] \operatorname{Cov}_\vartheta(T;N)=0 \text{ für alle } \vartheta \in \Theta [/math]

gilt. Allgemeiner lässt sich die Kovarianzmethode auf auf jeden linearen Unterraum der Schätzfunktionen anwenden. Ist also [math] \mathcal L [/math] solch ein linerear Unterraum und [math] D_g [/math] die Menge der erwartungstreuen Schätzer mit endlicher Varianz und [math] D_0 [/math] die Mengen der Null-Schätzer und gilt für ein [math] T \in D_g \cap \mathcal L [/math] die Aussage

[math] \operatorname{Cov}_\vartheta(T;N)=0 \text{ für alle } \vartheta \in \Theta \text{ und alle } N \in D_0 \cap \mathcal L[/math],

so ist [math] T [/math] gleichmäßig bester Schätzer für [math] \mathcal L \cap D_g [/math].

Verallgemeinerungen

Ist der Begriff eines gleichmäßig besten Schätzers zu stark, so kann man ihn abschwächen: anstelle dass man fordert, dass die Varianz eines Schätzers [math] T [/math] für alle [math] \vartheta \in \Theta [/math] kleiner ist als die Varianz eines beliebigen anderen Schätzers, fordert man nur, dass die Varianz von [math] T [/math] für ein fixes [math] \vartheta_0 [/math] kleiner als die Varianz aller anderen Schätzer ist. Dies führt zum Begriff des lokal minimalen Schätzers.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 210.
  2. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 127.
  3. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 108.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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