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Bessel-Filter


Ein Bessel-Filter ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt werden:

  • optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) unverändert am Ausgang;
  • konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
  • linearer Phasengang im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.

Das Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als – hinsichtlich der Gruppenlaufzeit – optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) benannt.

In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung

[math] \underline{A} = \frac{A_0}{1+\sum_{i=1}^n c_i^\prime P^i} [/math]

mit

[math] A_0[/math] Gleichspannungsverstärkung
[math] P = \frac{p}{\omega _g} \Leftrightarrow j \Omega = j \frac{\omega}{\omega _g} [/math] und [math]\omega _g[/math] Grenzfrequenz

lässt sich für die Koeffizienten [math]c_i^\prime[/math] die Rekursionsformel

i = 1: [math]c_1^\prime = 1[/math]
i = 2 … n: [math]c_i^\prime = \frac{2(n-i+1)}{i(2n -i+1)} \cdot c_{i-1}^\prime[/math]

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit, d.h. bei [math]\Omega = 1[/math] ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken.

Eigenschaften

Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

Normalisierte Bessel-Polynome

n Bessel-Polynom
1 [math]1+P[/math]
2 [math]1+P+\frac{1}{3}P^2[/math]
3 [math]1+P+\frac{2}{5}P^2+\frac{1}{15}P^3[/math]
4 [math]1+P+\frac{3}{7}P^2+\frac{2}{21}P^3+\frac{1}{105}P^4[/math]
5 [math]1+P+\frac{4}{9}P^2+\frac{1}{9}P^3+\frac{1}{63}P^4+\frac{1}{945}P^5[/math]

Siehe auch


Kategorien: Filter (Elektrotechnik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Bessel-Filter (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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