Bernsteinpolynom - LinkFang.de





Bernsteinpolynom


Die Bernsteinpolynome (nach Sergei Natanowitsch Bernstein) sind eine besondere Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Nutzen und Geschichte

Die Bernsteinpolynome haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven Beweis für den Approximationssatz von Weierstraß angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. Paul de Faget de Casteljau bei Citroën und Pierre Bézier bei Renault nutzten die Bernsteinpolynome bei ihrer Entwicklung von Bézierkurven und legten damit den Grundstein des heutigen Computer Aided Design (CAD).

Definition

Für [math]n\in\N_0[/math] heißen die reellen Polynome

[math]B_{i,n}\colon\R \to \R,\; t \mapsto {n \choose i}\, t^i\, (1-t)^{n-i}[/math]

(mit [math]0\leq i\leq n[/math]) die Bernsteinpolynome vom Grad [math]n[/math].

Durch affine Transformation (Abbildung des Intervalls [math][0,1][/math] auf ein beliebiges Intervall [math][a,b][/math]) erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome

[math]B_{i,n}^{[a,b]}\colon\R \to \R,\; t \mapsto \frac{1}{(b-a)^n} {n \choose i} (t-a)^i\, (b-t)^{n-i}[/math].

Dabei bezeichnet

[math]{n \choose i} = \frac{n!}{i! (n-i)!}[/math]

den Binomialkoeffizienten.

Beispiel

Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome [math]B_{i,4}[/math], [math]0\leq i\leq 4[/math] vom Grad [math]4[/math]:

Eigenschaften

Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls [math][0,1][/math] haben folgende Eigenschaften:

  • Basiseigenschaft: Die Bernsteinpolynome [math]\{B_{i,n}:0\leq i\leq n\}[/math] sind linear unabhängig und bilden eine Basis von [math]\Pi_n[/math], dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich [math]n[/math].
  • Positivität:
    [math]B_{i,n}(t) \gt 0[/math] für alle [math]t \in (0,1)[/math].
  • Extrema: [math]B_{i,n}[/math] besitzt im Intervall [math][0,1][/math] genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle [math]t = \frac{i}{n}[/math]. Man erhält insbesondere:
    [math]B_{0,n}(0) = B_{n,n}(1) = 1[/math]
  • Zerlegung der Eins (auch Partition der Eins):
    [math]\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) = \sum_{i=0}^n{n \choose i} t^i (1-t)^{n-i} = 1[/math]
(Ergibt sich mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus [math](t+(1-t))^n[/math].)
  • Symmetrie:
    [math]B_{i,n}(t) = B_{n-i,n}(1-t)[/math]
  • Rekursionsformel:
    [math]B_{i,n}(t) = (1-t) \cdot B_{i,n-1}(t) + t \cdot B_{i-1,n-1}(t)[/math], mit der Definition
    [math]B_{i,n} := 0[/math] für [math]i \lt 0[/math] oder [math]i \gt n[/math]
    [math] B_{0,0} := 1[/math]
  • Gradanhebung:
    [math]B_{i,n}(t) = \frac{i+1}{n+1} \cdot B_{i+1,n+1}(t) + \frac{n+1-i}{n+1} \cdot B_{i,n+1}(t)[/math]
  • Ableitungen:
    [math]B'_{i,n}(t) = n \left[ B_{i-1,n-1}(t) - B_{i,n-1}(t) \right][/math], mit der Definition
    [math]B_{-1,n-1} = B_{n,n-1} := 0[/math]

Approximation durch Bernsteinpolynome

Für eine Funktion [math]f\colon [0,1] \to \R[/math] heißt das durch

[math]B_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t)\cdot f\left(\frac{i}{n}\right)[/math]

definierte Polynom [math]B_n(f)[/math] das [math]n[/math]-te Bernsteinpolynom der Funktion [math]f[/math].

Ist [math]f[/math] eine stetige Funktion auf dem Intervall [math][0,1][/math], so konvergiert die Folge ihrer Bernsteinpolynome [math]B_n(f)[/math] gleichmäßig gegen [math]f[/math].

Der Beweis dieses Satzes kann mit Hilfe des schwachen Gesetzes der Großen Zahlen oder des Satzes von Korowkin durchgeführt werden.

Weblinks

Literatur

  • Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Kharkov, Vol. 12, No. 2, pp. 1-2, 1912/1913.

Kategorien: Analysis

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Bernsteinpolynom (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.