Bernoullische Differentialgleichung - LinkFang.de





Bernoullische Differentialgleichung


Die bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

[math]y'(x)=f(x)y(x) + g(x) y^\alpha(x),\ \alpha\notin \lbrace0,1\rbrace.[/math]

Durch die Transformation

[math]\ z(x) := (y(x))^{1-\alpha}[/math]

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

[math]z'(x)=(1-\alpha)\bigl(f(x)z(x)+g(x)\bigr)[/math]

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der bernoullischen Differentialgleichung

Sei [math]x_0 \in (a, b)[/math] und

[math]\left\{\begin{array}{ll} z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{falls}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\ z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{falls}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.[/math]

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

[math]z'(x)=(1-\alpha)f(x)z(x) + (1-\alpha)g(x).[/math]

Dann ist

[math]y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}[/math]

die Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

[math]y'(x) = f(x)y(x) + g(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.[/math]

Weiter besitzt die bernoullische Differentialgleichung für jedes [math]\alpha\gt0[/math] trivialerweise [math]y\equiv 0[/math] als Lösung für [math]y_0=0[/math].

Beweis

Es gilt

[math]\begin{array}{lll} y'(x) &=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}z'(x)\\ &=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}\bigl((1-\alpha)f(x)z(x) + (1-\alpha)g(x)\bigr)\\ &=& f(x)z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}+ g(x)z(x)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}\\ &=& f(x)y(x)+ g(x)y^\alpha(x)\ , \end{array}[/math]

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

[math]\Box[/math]

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

[math]y'(x) = ay(x) - by^2(x),\ y(0) = y_0 \gt 0,\ a, b \gt 0[/math]

ist eine bernoullische Differentialgleichung mit [math]\alpha = 2[/math]. Löst man daher

[math]z'(x) = -az(x) + b\ ,\ z(0) = \frac{1}{y_0},[/math]

ergibt sich

[math]z(x) = \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{y_0} - \frac{b}{a}\right)e^{-ax}.[/math]

Da [math]z(x) \gt 0[/math] für alle [math]x \gt x^-[/math] mit

[math]x^- := \left\{\begin{array}{ll} -\infty\ ,&\textrm{falls}\ a \geq by_0,\\ \frac{1}{a}\ln(1-\frac{a}{by_0})\ ,&\textrm{falls}\ a \lt by_0,\\ \end{array}\right.[/math]

ist

[math]y(x) := \frac{1}{z(x)} = \frac{1}{\frac{b}{a}+\left(\frac{1}{y_0}-\frac{b}{a}\right)e^{-ax}}[/math]

die Lösung obiger Gleichung auf [math](x^-, \infty)[/math].

Literatur

  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische Differentialgleichung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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