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Bernoullische Annahmen


Die bernoullischen Annahmen sind Vereinfachungen der Balkentheorie, die sich als Teilgebiet der Technischen Mechanik mit dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Sie sind benannt nach Jakob I. Bernoulli, von dem sie aufgestellt und dann in die Theorie übertragen wurden.

Inhalt der Annahmen

  • Der Balken ist schlank: seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnittsabmessungen.
  • Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Deformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse.
  • Querschnitte bleiben auch nach der Deformation in sich eben.

Herleitung

Die bernoullischen Annahmen sind die geometrische Interpretation der Gleichung:

[math]\omega' + \psi = 0[/math]

mit

  • der Krümmung [math]\psi[/math]
  • [math]\omega[/math]: [Durchbiegung].

Diese Gleichung ergibt sich als Vereinfachung aus der Gleichung

[math]Q = k \cdot G \cdot A \cdot (\omega' +\psi)[/math]

mit

bei endlicher Querkraft Q unter der Annahme, dass die Schubsteifigkeit sehr groß ist:

[math]k \cdot G \cdot A \to \infty.[/math]

Außer der o.g. Gleichung [math]Q = \dots[/math] gelten für die Schnittgrößen Q und M (Biegemoment) sowie die Deformationsgrößen [math]\psi[/math] und [math]\omega[/math] nach der Balkentheorie allgemein noch folgende Differentialgleichungen:

  • [math] \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x} = -q[/math]
  • [math] \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = Q[/math]
  • [math] M = E \cdot I \cdot \psi'[/math]

mit


Kategorien: Technische Mechanik

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