Astroide - LinkFang.de





Astroide


Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter [math]t \in [0,2\pi][/math] durch die Parametergleichungen

[math]x = a (\cos t)^3 \ [/math]
[math]y = a (\sin t)^3 \ [/math]

oder durch die implizite Gleichung

[math]x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \quad [/math] ,  welche äquivalent zu   [math] \quad (x^2+y^2-a^2)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0[/math] ist,

beschreiben lässt, wobei a eine feste positive, reelle Zahl ist. Für ihren Flächeninhalt A gilt

[math]A = \frac{3}{8} \pi a^2[/math].

Die Länge [math]\ell[/math] der gesamten Kurve beträgt [math]\ell = 6a[/math]. Innerhalb eines Kurvenviertels [math] 0 \le t \le \frac{\pi}{2} [/math] gilt für die Bogenlänge

[math]s(t) = \frac{3}{2}a\sin^2(t) [/math]

und für den Krümmungsradius

[math] \rho(t) = \frac{3}{2}a\sin(2t)[/math].

Die Astroide ist auch ein Spezialfall der Hypozykloide. Sie ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden
Intervall [math]x_\mathrm{S}[/math] [math]y_\mathrm{S}[/math]
Ebenes Kurvenstück 0 ≤ t ≤ [math]\tfrac{\pi}{2}[/math] [math]\tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}[/math] [math]\tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]
0 ≤ t ≤ [math]\pi[/math] 0 [math]\tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]
Ebene Figur 0 ≤ t ≤ [math]\tfrac{\pi}{2}[/math] [math]\tfrac{256}{315 \pi} a[/math] [math]\tfrac{256}{315 \pi} a[/math]
0 ≤ t ≤ [math]\pi[/math] 0 [math]\tfrac{256}{315 \pi} a[/math]
Drehkörper* 0 ≤ t ≤ [math]\tfrac{\pi}{2}[/math] [math]\tfrac{21}{128}a[/math] 0

*Bei Rotation um die X-Achse [math]( z_S = 0 )[/math]

Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

[math]x = a (\cos t)^3 \ [/math]
[math]y = b (\sin t)^3 \ [/math]

oder durch die implizite Gleichung

[math]\left({\frac{x}{a}}\right)^{\frac{2}{3}} + \left({\frac{y}{b}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1[/math]

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

Siehe auch

Weblinks

 Commons: Astroid  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Geometrische Kurve

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Astroide (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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