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Arkustangens und Arkuskotangens


Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische zyklometrische Funktionen.

Arkustangens (geschrieben [math]\rm arctan[/math], [math]\rm atan[/math], [math]\tan^{(-1)}[/math] oder [math]\tan^{-1}[/math])[1] sowie Arkuskotangens (geschrieben [math]\rm arccot[/math], [math]\rm acot[/math] und neuerdings auch [math]\cot^{-1}[/math])[2] sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall [math]\left]-\pi/2; \pi/2\right[[/math] und beim Kotangens meist das Intervall [math]]0; \pi[[/math].

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise [math]f^{-1}[/math] beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise [math]\tan^{-1}[/math] die klassische Schreibweise [math]\arctan[/math] zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann.

Eigenschaften

Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich [math]x\in\mathbb R[/math] [math]x\in\mathbb R[/math]
Wertebereich [math]-\tfrac{\pi}{2} \lt f(x) \lt \tfrac{\pi}{2}[/math] [math]0 \lt f(x) \lt \pi[/math]
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
[math]\arctan(-x) = -\arctan x[/math]
Punktsymmetrie zu [math]\left(x = 0, y = \tfrac{\pi}{2}\right)[/math]
[math]\arccot x = \pi - \arccot(-x)[/math]
Asymptoten [math]f(x) \to\pm \tfrac{\pi}{2}[/math] für [math]x \to\pm\infty[/math] [math]f(x) \to \pi [/math] für [math]x \to -\infty[/math]
[math]f(x) \to 0 [/math] für [math]x \to + \infty[/math]
Nullstellen [math]x = 0[/math] keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte [math](0;0)[/math] [math]\left(0; \tfrac \pi 2 \right)[/math]

Einige spezielle Werte

[math]x[/math] [math]0[/math] [math]2-\sqrt3[/math] [math]\sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5}[/math] [math]\sqrt2-1[/math] [math]\frac{1}{\sqrt3}[/math] [math]\sqrt{5-2\sqrt5}[/math] [math]1[/math] [math]\sqrt3[/math] [math]\infty[/math]
[math]\arctan(x)[/math] [math]0[/math] [math]\frac{\pi}{12}[/math] [math]\frac{\pi}{10}[/math] [math]\frac{\pi}{8}[/math] [math]\frac{\pi}{6}[/math] [math]\frac{\pi}{5}[/math] [math]\frac{\pi}{4}[/math] [math]\frac{\pi}{3}[/math] [math]\frac{\pi}{2}[/math]

Wegen der Punktsymmetrie [math]\arctan(-x)=-\arctan(x)[/math] ist mit [math](x,y)[/math] auch [math](-x,-y)[/math] ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

Näherungsweise Berechnung

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[3]

[math] \arctan x \approx \begin{cases}\frac{x}{1 + 0{,}28x^2} & \text{ für }|x| \le 1 \\ \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} & \text{ für }x \gt 1 \\ - \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} & \text{ für }x \lt -1 \end{cases}[/math]

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

[math] \arccot x \approx \frac{3x}{3x^2-1} \quad \text{ für }x \gg 1[/math]

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

[math] \arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \cdots [/math]

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

[math] \arccot x= \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac{\pi}{2}- x + \frac13 x^3 - \frac15 x^5 + \frac17 x^7- \cdots [/math]

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn [math]|x| \le 1[/math] und [math]x\neq\pm \mathrm i[/math] ist. Zur Berechnung des Arkustangens für [math]|x| \gt 1[/math] kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit [math]|x| \lt 1[/math] zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung

[math] \arctan x = 2\arctan\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}} [/math]

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit [math]|x| \lt 1[/math], so dass schon mal obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird [math]|x|[/math] mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.

Wegen [math]\scriptstyle\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}[/math] hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt [math]\scriptstyle x = \infty[/math] die Taylorreihe:

[math] \arccot x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{-2k-1}}{2k+1}= \frac1{x} - \frac1{3 x^3} + \frac1{5 x^5} - \frac1{7 x^7} + \cdots . [/math]

Sie konvergiert für [math]x\geq 1[/math] und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für [math]x\leq -1[/math], allerdings mit dem Wert [math]\arccot x - \pi[/math] . Manche Pakete der Computeralgebra geben für [math]x\lt0[/math] den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert [math]\arccot x - \pi[/math] als Hauptwert.

Funktionalgleichungen

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

[math]\arctan \frac{1}{x} = \sgn(x)\cdot\frac{\pi}{2} - \arctan x[/math]

Gleiches gilt für die Arkuskotangenswerte:

[math]\arccot \frac{1}{x} = (2-\sgn(x)) \cdot \frac{\pi}{2} - \arccot x[/math]

Weitere Querbeziehungen

Die Beziehungen zwischen beiden Arkusfunktionen geben auch die folgende Formeln wieder:

[math]\arctan {x} = \begin{cases} \arccot \frac{1}{x} - \pi & \; \text{für} \; x \lt 0 \\ \arccot \frac{1}{x} & \; \text{für} \; x \gt 0 \\ \end{cases} [/math]
[math]\arccot {x} = \begin{cases} \arctan \frac{1}{x} + \pi & \; \text{für} \; x \lt 0 \\ \arctan \frac{1}{x} & \; \text{für} \; x \gt 0 \\ \end{cases} [/math]

Summenformeln

Aus dem Additionstheorem für die Tangensfunktion folgt:

[math]\arctan x + \arctan y = \begin{cases} \arctan \frac{x+y}{1-xy} & \text{ für } xy\lt1\\ \frac{\pi}{2} \sgn(x) & \text{ für } xy=1\\ \pi \sgn(x)+\arctan \frac{x+y}{1-xy} & \text{ für } xy\gt1 \end{cases}[/math]

Aus dem Additionstheorem für die Kotangensfunktion folgt:

[math]\arccot x + \arccot y = \begin{cases} \arccot \frac{xy-1}{x+y} & \text{ für } x+y\gt0\\ \pi & \text{ für } x+y=0\\ \pi +\arccot \frac{xy-1}{x+y} & \text{ für } x+y\lt0 \end{cases}[/math]

Beispielsweise gilt:

[math]\arctan {\frac 12} + \arctan {\frac 13} = \arctan \frac{\frac 12 + \frac 13}{1 - \frac 16} = \arctan {1} = \frac {\pi}4[/math]

und

[math]\arctan {\frac 1n} = 2 \arctan {\frac 1{2n}} - \arctan {\frac 1{4n^3+3n}} .[/math]

Als Arkuskotangens geschrieben:

[math]\arccot {2} + \arccot {3} = \arccot \frac{6-1}{2+3} = \arccot {1} = \frac {\pi}4[/math]

und

[math]\arccot {n} = 2 \arccot (2n) - \arccot (4n^3+3n) .[/math]

Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des Arkustangens

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall [math]x=1,[/math] die Leibniz-Formel

[math]\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots.[/math]

Da sie nur extrem langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

[math]\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},[/math]

um die ersten 100 Nachkommastellen von π mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von F. C. W. Störmer (1896):

[math] \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} ,[/math]

was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl

[math]g:=(57+\mathrm i)^{44} \, (239+\mathrm i)^7 \, (682-\mathrm i)^{12} \, (12943+\mathrm i)^{24} \approx (1+\mathrm i)\cdot 2{,}84438... \cdot10^{226} [/math]

gleich sind.

Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei hier die Gaußsche Zahl

[math]g:=(5+\mathrm i)^{4} \, (239-\mathrm i) = 114244 + 114244\,\mathrm i[/math]

beträgt und mit einem normalen Taschenrechner berechnet werden kann.

Ableitungen

Arkustangens:

[math]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2(\arctan(x))[/math]

Arkuskotangens:

[math]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(x) = - \frac{1}{1+x^2}=-\sin^2(\arccot(x))[/math]

Stammfunktionen

Arkustangens:

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

[math]\int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm dx = x \, \arctan \frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).[/math]

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

[math]\frac1{ax^2+bx+c}.[/math]

Ist die Diskriminante [math]D=b^2-4ac[/math] nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

[math]u=\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}[/math]

in die Form

[math]\frac{4a}{-D}\,\frac1{1+u^2}[/math]

bringen; eine Stammfunktion ist also

[math]\frac2{\sqrt{-D}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}.[/math]

Arkuskotangens:

Eine Stammfunktion des Arkuskotangens ist

[math] \int \arccot \frac{x}{a} \, \mathrm dx= x \, \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \, \ln(a^2 + x^2)[/math].

Komplexes Argument

[math] \arctan(a+b\,\mathrm i) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac12 \!\left(\arctan \frac{a^2+b^2-1}{2a} + \frac\pi2 \sgn(a) \right) & \; a\neq0 \\ 0 & \; a=0,\, |b|\leq1 \\ \displaystyle \frac\pi2 \sgn(b) & \; a=0,\, |b|\gt1 \\ \end{array} \right\} [/math] [math] + \mathrm i \cdot \frac12 \operatorname{artanh} \frac{2b}{a^2+b^2+1} [/math]   mit [math] a,b \in \mathbb{R}[/math]
[math]\arccot(a+b\,\mathrm i) = \frac\pi2 - \arctan(a+b\,\mathrm i)[/math]

Anmerkungen

Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

[math]\arctan z=\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i} = \frac{1}{2\mathrm i} \ln \frac{1+\mathrm iz}{1-\mathrm iz} [/math]

für z in der zweifach geschlitzten Ebene: [math]z \in \mathbb C ^= := \mathbb C\backslash \{ \mathrm i y \, | \, y \in \mathbb R, |y| \geq 1 \}[/math]

Arkuskotangens:

Ebenfalls ist es möglich, den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus auszudrücken:

[math]\arccot z=\frac{\pi}{2}-\frac{\ln(1+\mathrm i z)-\ln(1-\mathrm i z)}{2\mathrm i}[/math]

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

[math] \arccot z = \frac{\pi}{2} - \arctan z[/math]

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten (atan2)

Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten [math]P(x;y)[/math] in Polarkoordinaten [math]P(r ; \varphi)[/math] der Ermittlung des Winkels [math]\varphi.[/math] Da der einfache Arkustangens nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von [math]\pm \tfrac{\pi}{2}[/math] nicht umkehrbar ist, gibt es in vielen Programmiersprachen eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird üblicherweise mit [math]\operatorname{atan2}(y,x)[/math] bezeichnet.

Die Funktion [math]\operatorname{atan2}(y,x)[/math] kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind [math]x,y[/math] reelle Zahlen und [math]r=\sqrt{x^2+y^2},[/math] so gilt:

[math]x = r\cdot\cos(\operatorname{atan2}(y,x))[/math]
[math]y = r\cdot\sin(\operatorname{atan2}(y,x))[/math]

[math]\Big(r,\operatorname{atan2}(y,x)\Big)[/math] sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten [math](x,y).[/math]

Definition

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

[math]\operatorname{atan2}(y,x) := \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x \gt 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x \lt 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x \lt 0,\ y \lt 0\\ +\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y \gt 0\\ -\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y \lt 0\\ 0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y = 0 \end{cases}[/math]

Für [math]x = y = 0[/math] ist die Funktion manchmal nicht definiert. Auch Sonderfälle wie Not a Number und Inf werden unterschiedlich behandelt.

Wertebereich

Bei der o. g. Definition:

[math]-\pi \lt \operatorname{atan2}(y,x) \le \pi[/math]

Anmerkungen

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion [math]\operatorname{atan2}(y,x)[/math] für (x,y) ≠ (0,0) über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:

[math] \operatorname{atan2}(y,x) =\arg(x+\mathrm i\,y) =\frac{1}{\mathrm i}\ln\frac{x+\mathrm i\,y}{\sqrt{x^2+y^2}} [/math]

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können. Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung derselben Möglichkeit, da man letztlich [math]\ln z[/math] mit [math]|z|=1[/math] bestimmen muss und dazu die gegebene kartesische Darstellung von [math]z[/math] in die Polarform überführt, also wieder effektiv auf die obige atan2-Funktion zurückgreift.

Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung [math]y[/math] der Gleichung [math]x=\tan y[/math] so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert [math]\eta[/math] liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter [math]\eta[/math] modifizierte Arkustangens-Funktion

[math]y=\arctan_\eta x:=\arctan x+\pi\cdot\operatorname{rni}\frac{\eta-\arctan x}{\pi}[/math].

Die Funktion [math]\operatorname{rni}[/math] rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Eric Weisstein: Inverse Tangent . In: MathWorld (englisch).
  2. Eric Weisstein: Inverse Cotangent . In: MathWorld (englisch).
  3. Weitere Approximationen (en) (Memento vom 16. April 2009 im Internet Archive)

Kategorien: Trigonometrische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens und Arkuskotangens (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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