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Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus


Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

[math]y = \operatorname{artanh}(x) = \tanh^{-1}(x)[/math]
[math]y = \operatorname{arcoth}(x) = \coth^{-1}(x)[/math]

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko)Tangens zu vermeiden. Es ist [math]\operatorname{artanh}(x)=\tanh^{-1}(x)\not= \tanh(x)^{-1}=\tfrac1{\tanh(x)}[/math].

Definitionen

Areatangens Hyperbolicus:

[math]\operatorname{artanh}(x) := \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| \lt 1[/math]

Areakotangens Hyperbolicus:

[math]\operatorname{arcoth}(x) := \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| \gt 1[/math]

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens Hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung [math](x, y) = (0, 0)[/math] und der Hyperbel [math]x^2-y^2=1[/math] überstreicht: Es seien [math](x, -y) = \left(x, -\sqrt{x^2-1} \right)[/math] und [math](x, y) = \left(x, +\sqrt{x^2-1} \right)[/math] Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche [math]A = \operatorname{artanh} \left(\frac{y}{x}\right)[/math] überstrichen.

Eigenschaften

  Areatangens Hyperbolicus Areakotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich [math] -1 \lt x \lt 1 [/math] [math] -\infty \lt x \lt -1 [/math]
[math] 1 \lt x \lt \infty [/math]
Wertebereich [math] -\infty \lt f(x) \lt \infty [/math] [math] -\infty \lt f(x) \lt \infty; \; f(x) \ne 0 [/math]
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend keine
Symmetrien ungerade Funktion: [math] f(-x) = -f(x)[/math] ungerade Funktion: [math] f(-x) = -f(x)[/math]
Asymptoten [math]x=1\colon \, f(x)\to \infty \text{ für } x \to 1[/math]
[math]x=-1\colon \, f(x)\to -\infty \text{ für } x \to -1[/math]
[math]y=0\colon \, f(x)\to 0 \text{ für } x \to \pm \infty[/math]
Nullstellen [math] x = 0 [/math] keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen [math] x = \pm 1 [/math] [math] x = \pm 1 [/math]
Extrema keine keine
Wendepunkte [math] x = 0 [/math] keine

Reihenentwicklungen

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

[math]\begin{alignat}{2} \operatorname{artanh}(x) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} & = x + \frac13 x^3 + \frac15 x^5+\frac17x^7+\ldots & \\ \operatorname{arcoth}(x) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{-2k+1}}{2k-1} & = x^{-1}+\frac13x^{-3}+\frac15x^{-5}+\frac17x^{-7}+\ldots & \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1) \cdot x^{2k+1}} & = \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \ldots & \end{alignat}[/math]

Ableitungen

[math]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{artanh}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| \lt 1 [/math].
[math] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcoth}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| \gt 1 [/math].

Integrale

Die Stammfunktionen lauten:

[math]\int \operatorname{artanh}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{artanh}(x) + \frac12\ln\left(1 - x^2\right)[/math].
[math]\int \operatorname{arcoth}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{arcoth}(x) + \frac12\ln\left(x^2 - 1\right)[/math].

Additionstheorem

[math] \operatorname{artanh}(x) \pm \operatorname{artanh}(y) = \operatorname{artanh} \left( \frac{x \pm y}{1 \pm xy}\ \right) [/math]

Siehe auch

Weblinks


Kategorien: Trigonometrische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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