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Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus


Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt [math]\operatorname{arsinh}[/math], [math]\operatorname{asinh}[/math], [math]\operatorname{arsh}[/math]; seltener auch [math]\!\ \sinh^{-1}[/math], [math]\mathfrak{ArSin}[/math][1]) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt [math]\operatorname{arcosh}[/math], [math]\operatorname{acosh}[/math], [math]\operatorname{arch}[/math]; seltener auch [math]\!\ \cosh^{-1}[/math],[1] [math]\mathfrak{ArCos}[/math]) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Definitionen

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus Hyperbolicus:

[math] \operatorname{arsinh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)[/math]

Areakosinus Hyperbolicus:

[math] \operatorname{arcosh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)[/math] für [math]x \geq 1[/math].

Hier steht [math] \ln [/math] für den natürlichen Logarithmus.

Umrechnung

Zusammen mit der Signumfunktion [math] \sgn [/math] gilt der Zusammenhang:

[math] \operatorname{arsinh}(x) = \operatorname{sgn}(x) \cdot \operatorname{arcosh}\left(\sqrt{x^2 + 1} \right). [/math]

Für [math]x \geq 1[/math] gilt:

[math] \operatorname{arcosh}(x) = \operatorname{arsinh}\left(\sqrt{x^2 - 1} \right). [/math]

Eigenschaften

  Areasinus Hyperbolicus Areakosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich [math] - \infty \lt x \lt + \infty [/math] [math] 1 \le x \lt + \infty [/math]
Wertebereich [math] - \infty \lt f(x) \lt + \infty [/math] [math] 0 \le f(x) \lt + \infty [/math]
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion
keine
Asymptote [math] f(x)\to \pm \ln(2|x|) [/math] für [math] x \to \pm \infty [/math] [math] f(x)\to \ln(2x) [/math] für [math] x \to +\infty [/math]
Nullstellen [math] x = 0 [/math] [math] x = 1 [/math]
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte [math] x = 0 [/math] keine

Reihenentwicklungen

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei tritt die Doppelfakultät bzw. die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

[math]\begin{alignat}{2} \operatorname{arsinh}(x) &= x \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!(-x^2)^k}{(2k)!! (2k+1)} = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{\binom{ -\frac{1}{2}}{k} x^{2 k+1}}{2 k+1} & \\ &= x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7} + \cdots & \text{ für }|x| \lt 1 \\ \operatorname{arsinh}(x) &= \operatorname{sgn}(x) \cdot \left[ \ln(2|x|) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^2)^k} \right] & \text{ für }|x| \gt1 \\ \operatorname{arcosh}(x) &= \ln (2x)-\sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}x^{-2k} & \end{alignat}[/math]

Ableitungen

Die Ableitung des Areasinus Hyperbolicus lautet:

[math]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/math].

Die Ableitung des Areakosinus Hyperbolicus lautet:

[math]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arcosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}[/math] für x > 1.

Stammfunktionen

Die Stammfunktionen des Areasinus Hyperbolicus und des Areakosinus Hyperbolicus lauten:

[math] \int \operatorname{arsinh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{x^2 + 1} + C[/math]
[math] \int \operatorname{arcosh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arcosh}(x) - \sqrt{x^2 - 1} + C[/math]

Andere Identitäten

[math] \begin{align} \operatorname{arcosh}(2x^2-1)=2\operatorname{arcosh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 1 \\ \operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1)=4\operatorname{arcosh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 1 \\ \operatorname{arcosh}(2x^2+1)=2\operatorname{arsinh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 0 \\ \operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1)=4\operatorname{arsinh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 0 \end{align}[/math]

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.

Kategorien: Trigonometrische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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