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Ankreis


Die drei Ankreise gehören mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks, die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden.

Die Ankreise sind definiert als Kreise, die jeweils von einer Dreiecksseite von außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten tangential berührt werden. Jedes beliebige Dreieck besitzt drei Ankreise. Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Außenwinkel, die nicht zu dem Innenwinkel gehören.

Radien

Der Radius desjenigen Ankreises, der die Seite [math]a[/math] ([math][BC][/math]) im Inneren berührt, ergibt sich aus

[math]\varrho_a = \frac{2 A}{b+c-a}[/math],

wobei [math]A[/math] der Flächeninhalt des Dreiecks ist. Analog berechnen sich die Radien [math]\varrho_b[/math] und [math]\varrho_c[/math] der beiden anderen Ankreise.

Drückt man den Flächeninhalt nach dem Satz des Heron durch die Seitenlängen aus, so erhält man

[math]\varrho_a = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}[/math].

Dabei steht [math]s[/math] für den halben Dreiecksumfang: [math]s = \tfrac{1}{2}(a+b+c)[/math].

Für die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend

[math]\varrho_b = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}}[/math] und [math]\varrho_c = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}[/math].

Berührpunktabstände

[math]c_a[/math] ist der Abstand von [math]C[/math] zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite [math]a[/math] oder [math]b[/math].

[math]b_a[/math] ist der Abstand von [math]B[/math] zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite [math]a[/math] oder [math]c[/math].

Der Index [math]a[/math] steht dafür, dass derjenige Ankreis betrachtet wird, der die Seite [math]a[/math] im Dreieck und nicht in der Verlängerung berührt. Analog ist wird die Bezeichnung für die anderen zwei Ankreise gewählt.

[math]c_a = a_c = s - b[/math]

[math]c_b = b_c = s - a,[/math]

[math]a_b = b_a = s - c,[/math]

Dabei ist [math]s[/math] der halbe Umfang des Dreiecks.

Mittelpunkte

Die Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende baryzentrische Koordinaten, wobei [math]\displaystyle I_a[/math] den Mittelpunkt des Ankreises der Seite a repräsentiert:

  • [math]\displaystyle I_a = (-a:b:c)[/math]
  • [math]\displaystyle I_b = (a:-b:c)[/math]
  • [math]\displaystyle I_c = (a:b:-c)[/math]

Weitere Eigenschaften

  • Die Ankreismittelpunkte des Dreiecks [math]ABC[/math] bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt der Inkreismittelpunkt des Dreiecks [math]ABC[/math] ist.
  • Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten der Ankreise, so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt, dem Nagel-Punkt.

Literatur

Weblinks


Kategorien: Kreis | Dreiecksgeometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Ankreis (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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