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Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

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Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

Definitionen

  • Ein Objekt [math]X[/math] heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt [math]Y[/math] der Kategorie genau einen Morphismus [math]X \to Y[/math] gibt.
  • Ein Objekt [math]X[/math] heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt [math]Y[/math] der Kategorie genau einen Morphismus [math]Y \to X[/math] gibt.
  • Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

Eigenschaften

  • Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Endobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
  • Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

  • Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
  • Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

Beispiele

Kategorien mit Nullobjekten - Nullmorphismen

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt [math]0[/math], so gibt es zu je zwei Objekten [math]X[/math] und [math]Y[/math] stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus [math]0 : X \to Y[/math], der die Verkettung von

[math]X \to 0 \to Y [/math]

ist. Genauer schreibt man [math]0_{X,Y}[/math], um die Abhängigkeit von [math]X[/math] und [math]Y[/math] auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt [math]0_{X,Y} = 0_{X',Y'}[/math] nur für [math]X=X'[/math] und [math]Y=Y'[/math].

Nullmorphismen [math]0 : X \to Y[/math] in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus [math]X[/math] auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von [math]Y[/math] abbilden. Beispiele sind:

  • In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus [math]0_{X,Y} : X \to Y[/math] derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus [math]X[/math] auf das neutrale Element von [math]e_Y\in Y[/math] abbildet, das heißt [math]0_{X,Y}(x) = e_Y[/math] für alle [math]x\in X[/math].
  • In der Kategorie der Moduln über einem Ring [math]R[/math] ist der Nullmorphismus [math]0_{X,Y} : X \to Y[/math] diejenige [math]R[/math]-lineare Abbildung, die jedes Element aus [math]X[/math] auf das Nullelement von [math]0_Y\in Y[/math] abbildet, das heißt [math]0_{X,Y}(x) = 0_Y[/math] für alle [math]x\in X[/math].
  • In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus [math]0_{X,Y} : X \to Y[/math] diejenige Abbildung, die jedes Element aus [math]X[/math] auf den ausgezeichneten Punkt [math]p_Y\in Y[/math] abbildet, das heißt [math]0_{X,Y}(x) = p_Y[/math] für alle [math]x\in X[/math]. Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus [math]f[/math], dieser ist als Differenzkern des Paares [math](f, 0)[/math] definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

Literatur

  • Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2 , Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen

Kategorien: Kategorientheorie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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