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Alternierende Reihe


Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Zu Leonhard Eulers alternierenden Reihen siehe Alternierende Reihe (Euler)

Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind, das heißt eine Reihe der Form:

[math]\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k[/math]   oder   [math]\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_k[/math]

wobei die [math]a_k[/math] positive reelle Zahlen sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die Folge [math](a_k)_{k\in \N}[/math] monoton fallend ist.[1]

Ein einfaches Beispiel einer alternierenden Reihe ist die alternierende harmonische Reihe

[math]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots=\ln 2[/math]

im Gegensatz zur harmonischen Reihe

[math]\sum_{k=1}^\infty \frac1k = 1+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots\to\infty[/math],

bei der das Vorzeichen der Reihenglieder nicht wechselt. Die wahrscheinlich bekanntesten alternierenden Reihen sind die Reihenentwicklungen des Sinus und Kosinus:

[math] \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots[/math]
[math] \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots[/math]

Zur Untersuchung der Konvergenz dieser Reihen kann das Leibniz-Kriterium herangezogen werden.

Einzelnachweise

  1. H. Grauert, I. Lieb: Differential- und Integralrechnung I, Springer-Verlag 1976, ISBN 0-387-07574-7, Kapitel III, Definition 3.1

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