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Affiner Unterraum


Dieser Artikel behandelt einen affinen Unterraum eines Vektorraums. Zu affinen Unterräumen eines affinen Punktraums siehe Affiner Raum.

In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie.

Definition

Eine Teilmenge [math]A[/math] eines Vektorraums [math]V[/math] heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor [math]v[/math] aus [math]V[/math] und einen Untervektorraum [math]U_A[/math] von [math]V[/math] gibt, so dass

[math]A = v + U_A = \left\{v + u\mid u \in U_A\right\}[/math]

gilt.

In diesem Fall heißt [math]v[/math] auch Stützvektor von [math]A[/math] und [math]U_A[/math] der [math]A[/math] zugeordnete lineare Unterraum (der Verbindungsvektoren). [math]U_A[/math] ist durch [math]A[/math] eindeutig bestimmt; alle [math]w \in V[/math] mit [math]v-w \in U_A[/math] sind Stützvektoren von [math]A[/math]. Die Dimension von [math]A[/math] ist die Dimension von [math]U_A[/math].

Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt affine Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt affine Ebene. Wenn [math]V[/math] die Dimension [math]n[/math] hat, dann nennt man einen affinen Unterraum der Dimension [math]n-1[/math] eine affine Hyperebene.

In der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet. Sie hat dann als affiner Raum die Dimension [math]\dim \emptyset = -1[/math] und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet.

Anschauliche Betrachtung

Als Untervektorraum [math]U[/math] werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum [math]\mathbb{R}^3[/math] gewählt, für die gilt:

[math]g\colon \vec x= \lambda \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}[/math] mit [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math].

Als Vektor [math]\vec {v} \in V[/math] wird

[math] \vec{v} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} [/math]

gewählt.

Dann ist der affine Unterraum [math]A = v + U[/math] eine Gerade, die um [math](1|0|0)[/math] (also z. B. um eine Einheit in x-Richtung) vom Ursprung verschoben ist, mit der Gleichung:

[math]h\colon \vec x= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}[/math] mit [math]\mu \in \mathbb{R}[/math].

Die auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum, aber kein Untervektorraum von V, da sie nicht den Nullvektor enthält.

Dimensionsformel für affine Unterräume

Sei [math]V[/math] ein endlich dimensionaler Vektorraum über einen Körper [math]K[/math] und seien [math]A[/math], [math]B[/math] zwei affine Unterräume von [math]V[/math].

Für den Fall, dass [math]A[/math] und [math]B[/math] nicht disjunkt sind oder einer der beiden Räume leer ist, gilt die Dimensionsformel:

[math] \dim(A \vee B) + \dim(A \cap B) = \dim(A) + \dim(B)[/math].

Falls [math]A[/math] und [math]B[/math] jedoch disjunkt und nichtleer sind, lautet die Dimensionsformel:

[math] \dim(A) + \dim(B) = \dim(A \lor B) + \dim(U_A \cap U_B) - 1[/math].

Wobei [math]U_A[/math] aus der Darstellung [math]A = v + U_A[/math] (mit festem [math]v \in A[/math] und dem zugeordneten linearen Unterraum [math]U_A[/math] von [math]V[/math]) erhalten wird, entsprechend erhält man [math]U_B[/math].

In beiden Fällen steht [math]A \vee B[/math] für den Verbindungsraum von [math]A[/math] und [math]B[/math].

Eigenschaften

Da in der Definition eines affinen Unterraums auch [math]v=0[/math] gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er den Nullvektor enthält.

Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in [math]n[/math] Variablen über dem Körper [math]K[/math] ist ein affiner Unterraum von [math]K^n[/math], falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.

Literatur


Kategorien: Affiner Raum

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