Additivität - LinkFang.de





Additivität


In der Mathematik heißen Funktionen additiv, wenn sie Summen erhalten, d. h.

[math]f(x+y) = f(x) + f(y).[/math]

Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von [math]\mathbb Z[/math]-Linearität.

Sub- und Superadditivität

Ist [math]M[/math] eine Halbgruppe mit der Verknüpfung +, so heißt eine Abbildung [math]f\colon M \to \mathbb{R}[/math] subadditiv, wenn für alle x und y aus [math]M[/math] gilt:

[math]f(x+y)\leq f(x)+f(y)[/math]

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle [math]x[/math] und [math]y[/math] aus [math]M[/math] gilt:

[math]f(x+y)\geq f(x)+f(y)[/math]

Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.

Beispiele

Eigenschaften

Ist [math]f[/math] eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl [math]x_1, \dotsc, x_n[/math] von Elementen aus [math]M[/math]:

[math]f(x_1+ \ldots +x_n) = f(x_1)+ \ldots +f(x_n)[/math]

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie

Bei zahlentheoretischen Funktionen [math]f\colon \N \to \C[/math] betrachtet man als Verknüpfung auf [math]\N[/math] die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

[math]f(x y)= f(x)+f(y)[/math]

für alle teilerfremden [math]x[/math] und [math]y \in \N[/math] gilt. Gilt dies sogar für alle [math]x[/math] und [math]y[/math], so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

Siehe auch


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