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Abgeschlossene Hülle


In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge [math]U[/math] eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von [math]U[/math].

Definition

Ist [math]X[/math] ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss [math]\overline{U}[/math] einer Teilmenge [math]U\subseteq X[/math] der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von [math]X[/math], die [math]U[/math] beinhalten. Die Menge [math]\overline{U}[/math] ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von [math]U[/math].

Ein Punkt [math]b\in X[/math] heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von [math]U[/math], wenn in jeder Umgebung von [math]b[/math] mindestens ein Element von [math]U[/math] enthalten ist. [math]\overline{U}[/math] besteht genau aus den Berührpunkten von [math]U[/math].

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt [math]X[/math] das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn [math]X[/math] ein metrischer Raum ist), so ist [math]\overline U[/math] die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in [math]U[/math] liegen.

Ist [math]X[/math] ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge [math]U\subseteq X[/math] die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in [math]U[/math] liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei [math]X[/math] ein metrischer Raum mit Metrik [math]d[/math]. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle [math]\overline{B(x,r)}[/math] einer offenen Kugel

[math]B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\ltr\}[/math]

mit Radius [math]r[/math] und Mittelpunkt [math]x\in X[/math] nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

[math]\overline{B}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.[/math]

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

[math]\overline{B(x,r)} \subseteq \overline{B}(x,r)[/math]

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

[math]d(x,y)=\left\{\begin{matrix}1&\mathrm{f\ddot ur}\ x\not=y\\ 0&\mathrm{f\ddot ur}\ x=y\end{matrix}\right.[/math]

definiert ist. Dann gilt für jedes [math]x\in X[/math]:

[math]\{x\} = B(x,1) = \overline{B(x,1)} \subsetneq \overline{B}(x,1) = X.[/math]

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in dem für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

[math]B(x,r) \subsetneq \overline{B(x,r)} \subsetneq \overline{B}(x,r)[/math]

Ein Beispiel ist die Menge [math]X = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \cup \{(0,1)\}[/math] mit der vom euklidischen Raum [math]\mathbb{R}^2[/math] induzierten Metrik. Hier erfüllt [math]x=(0,0),r=1[/math] die angegebene Inklusionsbedingung:

[math]B(0,1) = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \lt a \lt 1\} \subsetneq[/math]
[math]\overline{B(0,1)} = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \subsetneq[/math]
[math]\overline{B}(0,1) = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \cup \{(0,1)\} = X[/math]

Literatur

  • Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene Hülle (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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