A-priori-Verteilung - LinkFang.de





A-priori-Verteilung


Die A-priori-Verteilung ist ein Begriff aus der bayesschen Statistik.

Definition

Folgende Situation ist gegeben: [math]\theta[/math] ist ein unbekannter Populationsparameter, der auf der Basis von Beobachtungen [math]x[/math] einer Zufallsgröße [math]X[/math] geschätzt werden soll.

Gegeben sei eine Verteilung für den Parameter [math]\theta[/math], die das Wissen über den Parameter [math]\theta[/math] vor der Beobachtung der Stichprobe beschreibt. Diese Verteilung wird A-priori-Verteilung genannt.

Weiterhin sei die bedingte Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung [math]\theta=\theta_0[/math] gegeben, die auch als Likelihood-Funktion bekannt ist.

Aus der A-priori-Verteilung und der Likelihood-Funktion kann mit Hilfe des Satzes von Bayes die A-posteriori-Verteilung berechnet werden, welche grundlegend für die Berechnung von Punktschätzern (siehe Bayes-Schätzer) und Intervallschätzern in der bayesschen Statistik ist.

(Nicht-)informative A-priori-Verteilungen

Eine nichtinformative A-priori-Verteilung ist als eine A-priori-Verteilung definiert, die keinen Einfluss auf die A-posteriori-Verteilung hat. Dadurch erhält man eine A-posteriori-Verteilung, die identisch mit der Likelihoodfunktion ist. Maximum-a-posteriori-Schätzer und Konfidenzintervalle, die mit einer nichtinformativen A-priori-Verteilung gewonnen wurden sind daher numerisch äquivalent zu Maximum Likelihood-Schätzern und frequentistischen Konfidenzintervallen.

Eine informative A-priori-Verteilung liegt in allen anderen Fällen vor.

Der Begriff der nichtinformativen A-priori -Verteilung sei an einem Beispiel erläutert: Die Zufallsgröße Y sei der mittlere Intelligenzquotient in der Stadt ZZZ. Aufgrund der Konstruktion des Intelligenzquotienten ist bekannt, dass Y normalverteilt ist mit Standardabweichung 15 und unbekanntem Parameter [math]\mu[/math]. An einer Stichprobe von N Freiwilligen wird der Intelligenzquotient gemessen. In dieser Stichprobe wird ein arithmetisches Mittel von 105 beobachtet.

Eine nichtinformative A-priori-Verteilung ist in diesem Fall gegeben durch

[math] p(\theta) \propto c [/math],

wobei [math]c \lt \infty [/math] eine positive, reelle Zahl ist. Auf diese Weise erhält man als A-posteriori-Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert 105 und Standardabweichung [math]\frac{15}{\sqrt{N}}[/math]. Der Maximum a posteriori-Schätzer für den Mittelwert [math]\mu[/math] ist dann 105 (i.e.: das arithmetische Mittel der Stichprobe) und somit identisch zum Maximum-Likelihood-Schätzer.

Eigentliche vs. uneigentliche A-priori-Verteilungen

An obigem Beispiel kann ein Problem illustriert werden, dass häufig bei der Verwendung nichtinformativer A-priori-Verteilungen auftritt: [math] p(\theta) \propto c [/math] definiert eine sogenannte uneigentliche A-priori-Verteilung. Uneigentliche A-priori-Verteilungen sind dadurch gekennzeichnet, dass das Integral der A-priori-Verteilung größer als 1 ist. Daher sind uneigentliche A-priori-Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In vielen Fällen kann jedoch gezeigt werden, dass die A-posteriori-Verteilung auch bei Verwendung einer uneigentlichen Verteilung definiert ist. Dies trifft zu, wenn

[math] \int p( \theta | y) d \theta \lt \infty [/math]

für alle [math] y [/math] gilt. Eine eigentliche A-priori-Verteilung [math] p(\theta ) [/math] ist dadurch definiert, dass sie unabhängig von den Daten ist und dass ihr Integral den Wert 1 ergibt.

Konjugierte A-priori-Verteilungen

Eine konjugierte A-priori-Verteilung liegt immer dann vor, wenn die A-priori-Verteilung den gleichen Verteilungstyp wie die A-posteriori-Verteilung besitzt.

Ein Beispiel hierfür ist das Binomial-Beta-Modell: [math]X[/math] sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Erfolgswahrscheinlichkeit [math]p \in (0,1)[/math] als Parameter. In [math]N[/math] Einzelversuchen werden [math]k[/math] Erfolge beobachtet. Als A-priori-Verteilung für [math]p[/math] wird eine [math]\Beta(\alpha,\beta)[/math]-Verteilung auf [math](0,1)[/math] verwendet. Unter diesen Voraussetzungen ist die A-posteriori-Verteilung eine [math]\Beta(\alpha+k,\beta+N-k)[/math]-Verteilung.

Ein weiteres Beispiel für eine konjugierte A-priori-Verteilung liegt bei einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert [math]\mu[/math] vor, wenn die A-priori-Verteilung eine Normalverteilung mit Erwartungswert [math]m \in \R[/math] und Varianz [math]v \gt 0[/math]. In diesem Fall ist die A-posteriori-Verteilung ebenso eine Normalverteilung.

Literatur

  • James O. Berger: Statistical decision theory and Bayesian analysis. Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg 1985. ISBN 0-387-96098-8
  • Andrew Gelman et al.: Bayesian Data Analysis. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton London New York Washington D.C. 2013. ISBN 978-1439840955


Kategorien: Bayessche Statistik | Stochastik | Wahrscheinlichkeitsrechnung

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