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A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

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Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist ein Begriff aus der bayesschen Statistik. Sie beschreibt den Wissensstand über einen unbekannten Umweltzustand [math]\theta[/math] a posteriori, das heißt nach der Beobachtung einer mit [math]\theta[/math] in statistischer Abhängigkeit stehenden Zufallsgröße [math]X[/math].

Definition

Folgende Situation ist gegeben: [math]\theta[/math] ist ein unbekannter Umweltzustand (z. B. ein Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung), der auf der Basis von Beobachtungen [math]x[/math] einer Zufallsgröße [math]X[/math] geschätzt werden soll.

Gegeben sei eine Verteilung für den Parameter [math]\theta[/math] vor der Beobachtung der Stichprobe. Diese Verteilung wird auch A-priori-Verteilung genannt.

Weiterhin sei die Dichte (bzw. im diskreten Fall: die Wahrscheinlichkeitsfunktion) der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung [math]\theta=\theta_0[/math] gegeben. Diese Dichte (bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion) wird im Folgenden mit [math]f(x|\theta_0)[/math] bezeichnet.

Die A-posteriori-Verteilung ist die Verteilung des Populationsparameters [math]\theta[/math] unter der Bedingung, dass für die Zufallsgröße [math]X[/math] der Wert [math]x[/math] beobachtet wurde. Die A-posteriori-Verteilung wird mit Hilfe des Satzes von Bayes aus der A-priori-Verteilung und der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung [math]\theta=\theta_0[/math] berechnet.

A-posteriori-Verteilung

Für stetige A-priori-Verteilungen

Eine stetige A-priori-Verteilung liegt dann vor, wenn die A-priori-Verteilung auf der Menge der reellen Zahlen [math]\R[/math] oder auf einem Intervall in [math]\R[/math] definiert ist. Beispiele für stetige A-priori-Verteilungen sind:

  • die Normalverteilung (hier ist der Parameterraum [math]\Theta[/math] die Menge der reellen Zahlen) oder
  • die Gleichverteilung auf dem Intervall [0;1] (hier ist der Parameterraum [math]\Theta[/math] das Intervall [0;1]).

Im Folgenden steht [math]g(\theta)[/math] für die auf dem Parameterraum [math]\Theta[/math] definierte A-priori-Dichte von [math]\theta.[/math]

In diesem Fall kann die A-posteriori-Dichte [math]h(\theta|x)[/math] folgendermaßen berechnet werden:[1]

[math]h(\theta_0\mid x) = \frac{f(x\mid \theta_0) \, g(\theta_0)}{\displaystyle\int_\Theta f(x \mid\theta') \, g(\theta') \, d\theta'} \![/math]

Für diskrete A-priori-Verteilungen

Im folgenden Abschnitt steht [math]P(\theta=\theta_0)[/math] für die diskrete A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter [math]\theta[/math] den Wert [math]\theta_0[/math] annimmt. Eine diskrete A-priori-Verteilung ist auf einer endlichen Menge oder auf einer Menge mit abzählbar unendlichem Träger definiert.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden mit [math]P(\theta=\theta_0|x)[/math] bezeichnet und kann auf folgende Weise berechnet werden:[1]

[math]P(\theta=\theta_0|x) = \frac{f(x|\theta_0) \, P(\theta=\theta_0)}{\displaystyle\sum_{\theta' \in \Theta} f(x|\theta') \, P(\theta=\theta')} \![/math]

Bedeutung in der bayesschen Statistik

In der bayesschen Statistik stellt die A-posteriori-Verteilung den neuen, durch Vorwissen und Beobachtung bestimmten Kenntnisstand über die Verteilung des Parameters [math]\theta[/math] nach der Beobachtung der Stichprobe dar.

Damit ist die A-posteriori-Verteilung die Grundlage zur Berechnung aller Punktschätzer (siehe Bayes-Schätzer) und Konfidenzintervalle in der bayesschen Statistik.[1]

Beispiel

In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ist bekannt, dass der Anteil roter Kugeln entweder bei 40 % oder aber bei 60 % liegt. Um Genaueres herauszufinden, werden (mit Zurücklegen) 11 Kugeln aus der Urne gezogen. Es werden 4 rote und 7 schwarze Kugeln gezogen.

Die Zufallsgröße „Anzahl gezogener roter Kugeln“ wird im Folgenden mit X bezeichnet, der tatsächlich beobachtete Wert der Zufallsgröße mit x.

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit unbekanntem Parameter [math]\theta,[/math] wobei [math]\theta[/math] nur einen der Werte [math]0{,}4[/math] oder [math]0{,}6[/math] annehmen kann. Da kein weiteres Vorwissen bekannt ist, wird als A-priori-Verteilung für [math]\theta[/math] eine diskrete Gleichverteilung angenommen, d. h.

[math]Pr(\theta=0{,}4)=Pr(\theta=0{,}6)=0{,}5.[/math]

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X=x ergibt sich aus der Binomialverteilung zu

[math]f(X=4\mid\theta=\theta_0)={11 \choose 4} \; {\theta_0}^4 \; (1-\theta_0)^7.[/math]

Man erhält daher für [math]\theta=0{,}4[/math]

[math]f(X=4\mid\theta=0{,}4)={11 \choose 4}\; 0{,}4^4 \;0{,}6^7=0{,}236.[/math]

Für [math]\theta=0{,}6[/math] erhält man

[math]f(X=4\mid\theta=0{,}6)={11 \choose 4} \; 0{,}6^4 \; 0{,}4^7=0{,}07.[/math]

Die A-posteriori-Verteilung kann nun mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnet werden. Für [math]\theta=0{,}4[/math] erhält man als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

[math]P(\theta=0{,}4\mid x=4)=\frac{0{,}5 \cdot 0{,}236}{0{,}5 \cdot 0{,}236 + 0{,}5 \cdot 0{,}07 }=0{,}77.[/math]

Für [math]\theta=0{,}6[/math] ergibt sich die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

[math]P(\theta=0{,}6\mid x=4)=\frac{0{,}5 \cdot 0{,}07}{0{,}5 \cdot 0{,}236 + 0{,}5 \cdot 0{,}07 }=0{,}23.[/math]

Somit ist man sich nach Ziehung der Stichprobe mit Wahrscheinlichkeit [math]0{,}77[/math] sicher, dass der Anteil roter Kugeln in der Urne 40 % beträgt.

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 1,2 Bernhard Rüger (1988), S. 152 ff.

Literatur

  • Bernhard Rüger: Induktive Statistik. Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 1988. ISBN 3-486-20535-8
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik - Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. de Gruyter Verlag, Berlin New York 2007. ISBN 978-3-11-019349-7

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/A-posteriori-Wahrscheinlichkeit (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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