Ähnlichkeitsabbildung - LinkFang.de





Ähnlichkeitsabbildung


Als Ähnlichkeitsabbildung (oder Ähnlichkeit) wird in der Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Affinität bezeichnet, die Streckenverhältnisse und Winkelgrößen unverändert lässt, aber im Allgemeinen die Längen von Strecken ändert. Der Begriff ist daher nur in solchen affinen Räumen sinnvoll, in denen ein Winkelbegriff und ein Längenbegriff vorhanden ist. Meist handelt es sich dabei um affine Punkträume, denen ein reeller euklidischer Raum als Raum der Verbindungsvektoren zugeordnet ist (siehe Euklidischer Raum#Der euklidische Punktraum). Figuren, die durch eine Ähnlichkeitsabbildung aufeinander abgebildet werden können, heißen ähnlich zueinander.

In der Geodäsie und Astrometrie wird die Abbildung als Ähnlichkeitstransformation bezeichnet. Ihre 4 Transformationsparameter sind 1 Drehwinkel, 1 Maßstabsfaktor und 2 Verschiebungswerte. Man verwendet sie bei einfachen Koordinatentransformationen, etwa bei einer kleinräumigen Vermessung zum Anschluss an die Landeskoordinaten, oder bei Astrografen-Aufnahmen zur Plattenreduktion auf 2 oder mehr Anschlusssterne.

Ähnlichkeiten als spezielle Affinitäten

Die Menge der Ähnlichkeiten auf einem affinen Raum [math]A[/math] bildet eine Teilmenge der Affinitäten auf [math]A[/math]. Ist die Dimension von [math]A[/math] größer oder gleich 2, dann existieren auch Affinitäten, die keine Ähnlichkeiten sind. Bezüglich der Verkettung bilden die Ähnlichkeiten sogar eine Untergruppe dieser Gruppe von Affinitäten.

Auch alle Kongruenzabbildungen zählen zu den Ähnlichkeiten (sie bilden eine - im Allgemeinen echte - Untergruppe), da sie unter anderem winkel- und verhältnistreu sind, also Winkel und Streckenverhältnisse invariant lassen. Sind nur Ähnlichkeiten gemeint, die keine Kongruenzabbildungen sind, so spricht man von echten Ähnlichkeiten.

Klassifikation

Es gibt zwei Typen von echten Ähnlichkeiten, also Ähnlichkeiten, die keine Kongruenzabbildungen sind:

Koordinatendarstellung

In der analytischen Geometrie wird eine Ähnlichkeitsabbildung nach Wahl eines euklidischen affinen Koordinatensystems durch eine Abbildungsgleichung der Form

[math]\vec{X'} = m \cdot A \vec{X} + \vec{b}[/math]

beschrieben, wobei [math]m \gt 0[/math] eine reelle Zahl und [math]A[/math] eine orthogonale Matrix ist. Handelt es sich um eine gleichsinnige Ähnlichkeitsabbildung, so hat die Determinante von [math]A[/math] den Wert 1, andernfalls den Wert -1.

Siehe auch

Literatur

  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und Analytische Geometrie - Band 1, Vieweg-Verlag Braunschweig, ISBN 3528030569
  • Heribert Kahmen: Vermessungskunde, 18.Auflage, de Gruyter-Lehrbuch, Berlin 1993

Kategorien: Keine Kategorien vorhanden!

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Ähnlichkeitsabbildung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.